Introduction

최적화 대상이 되는 기본 익형은 한국항공우주연구원에서 개발중인 10,000lbf급 중소형 항공기용 터보팬 엔진의 고압 터빈 노즐 ver1.0 형상이다. 노즐 및 로터를 포함하는 1단 해석을 위해 기본이 되는 노즐 및 로터의 단면 형상을 Fig. 1과 같이 9개 변수로 정의하였으며 형상 및 격자 생성에 Concepts NREC사의 AxCent와 ANSYS Turbogrid를 사용하였다. 이 때 수치해석을 위한 도메인과 경계조건은 Fig. 2 와 같다. 유동해석에는 ANSYS CFX를 사용하였고 계산된 노즐 기본형상에 대한 공력성능은 강영석 등(56)에 제시되어 있으며, 주요 성능인자는 Table 1과 같다.

3차원 노즐 형상을 정의하기 위해 익형을 허브면, 미드스팬면, 슈라우드면으로 3등분 하여 각 단면을 다시 기본 익형 형상의 단면을 정의했던 9개 변수로 정의 하였다. 기본형상의 설계변수에 대해 길이 ±5%, 각도 ±5°(설치각(stagger angle)의 경우 ±3°)를 각각 설계영역의 상한과 하한으로 하여 기본형상의 등엔트로피 효율에 대해 각 변수의 민감도를 계산하였다.

Fig. 3은 단면별 형상변수에 대한 민감도 해석 결과이며 가로축은 효율 변화량, 세로축은 각 단면별 형상변수를 나타낸다. 허브면의 설치각, 미드스팬면의 유로목면적(TE Passage Width/Pitch), 출구각(Exit angle), 슈라우드면의 출구각의 4가지 변수가 효율에 대해 0.4%이상의 두드러지는 민감도를 가지고 있음을 알 수 있다. 이 4가지 변수에 더해 민감도가 낮은 변수의 근사모델의 수렴도에 대한 영향력을 살펴보기 위해 다른 변수들에 비교해 유효한 영향력은 가지고 있으나 민감도가 높지 않은 슈라우드면의 목 이후 선회각(Unguided Turning angle), 설치각, 미드스팬면의 설치각을 추가적인 설계변수로 선정하였다. 이렇게 선정된 7개의 설계변수 및 무차원화 된 설계영역은 Table 2와 같다.

실험계획법(Design of Experiment)이란 해결하고자 하는 문제를 대상으로 최적의 해석방법과 실험방법을 계획하는 것이다. 전산유체분야의 최적화 문제는 일반적으로 하나의 실험점을 해석하는데 많은 시간이 소요되므로 적절한 실험계획법의 선정이 매우 중요하다.

실험점간의 분산을 최대화 하는 D-optimal 방법을 사용하여 최초의 실험점 수를 결정하고 하였으며 설계영역의 lower limit(-1), baseline(0), upper limit(1)의 3수준에 대해 총 54개의 실험점을 선정하였다. 또한 실험점 수에 따른 근사모델의 신뢰도 향상정도를 살펴보기 위해 30개씩 총 5번에 걸쳐 추가적인 실험점을 선정하였는데 이때는 ALHD(Augmented Latin Hypercube Design)방법을 사용하였다. ALHD란 1979년 McKay가 개발한 Latin Hypercube Design에 최적성 조건을 접목시켜 충진(space-filling)성능을 향상 시킨 대표적인 실험계획법으로 최초의 실험점의 수준수를 고려하지 않고 실험점을 추가시키기 때문에 교호작용에 대한 고려가 부족할 수 있는 초기 실험점을 보완해 가게 된다.(7)

신뢰할 수 있는 근사모델을 구성하기 위해 요구되는 최소의 실험점 수는 해석대상 혹은 최적화 문제를 정의하는 방식 및 요구하는 근사모델의 정확도에 따라 달라질 수 있으므로 이와 같은 방법을 사용하여 각각의 최적화 문제에 필요한 최소한의 실험점 수를 결정할 수 있다.

크리깅 모델은 내삽 기법(interpolation method)의 하나로 전산 실험계획으로 얻어진 정보를 바탕으로 다음과 같이 전역 모델 (global model)과 국부 편차(localized deviation)의 합으로 구성된다.

여기서 f(x)는 주어진 실험 데이터를 이용해서 구할 수 있는 전역 모델이며 많은 경우 상수항으로 처리한다. Z(x)는 평균이 0이고 분산이 σ²인 정규분포를 따르며 크리깅 모델이 주어진 실험점들을 보간할 수 있도록 국소적인 변동을 만들어내는 부분으로 응답 모델의 불확실성을 나타낸다. Z(x)의 공분산은 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 R은 상관행렬(correlation matrix)이며 R(xⁱ, x^j)는 임의의 두 점 xⁱ, x^j사이의 상관함수(correlation function)이다. 상관함수는 설계자에 의해 결정된다.(89)

크리깅 모델과 같은 보간 모델(interpolation model)은 주어진 실험점들을 내삽하기 때문에 주어진 실험점은 그대로 재생하므로 회귀모델의 정확도를 판단할 때 사용하는 R², R_adj.²와 같은 기준으로 정확도를 판단 할 수 없다. 따라서 주어진 실험점 외에 다른 점들에 대한 오차를 구하여 정확도를 분석한다.(10)

본 연구에서는 크리깅 모델의 신뢰도 판단을 위해 오차검증을 위한 80개의 설계점을 추가로 계산하였으며 이를 통해 PIAnO에서 제공하는 전역모델함수(constant, linear, simple quadratic, full quadratic, simple cubic)와 상관함수(Gaussian, Exponential, general exponential)중 가장 신뢰할 수 있는 함수쌍을 찾아 실험점을 추가하는 매 단계에 적용하여 크리깅 모델을 구성하였다.

유전 알고리즘(Genetic Algorithm, GA)이란 자연 진화(natural evolution)와 자연 유전(natural genetics)을 최적화에 적용한 것으로써, 여러 개체를 동시에 이용하여 여러 탐색경로를 거쳐 최적해를 구하는 특징을 가지고 있다. 이때 사용되는 여러 개체의 특성 중 우수한 성질을 다음 단계에서의 개체로 전해 줌으로써 최종적으로 최적해에 도달하도록 하는 방법이다. 유전 알고리즘은 목적함수의 기울기 정보를 이용하지 않으므로 비선형성이 매우 큰 공간에서도 전역 최적점을 찾아낼 가능성이 크다.(11)

목적함수는 터빈의 등엔트로피 효율이 최대가 되도록 하였고 제한조건으로는 질량유량(mass flow rate)과 팽창률(Expansion Ratio)이 각각 설계 목표 값의 ±3%를 넘기지 않도록 하였다.

근사모델 구성 및 최적화 과정에는 최적설계 통합툴인 PIDOTECH Inc.의 PIAnO를 사용하였으며(12) 민감도 해석, 설계변수 선정, 실험계획법, 근사모델 구성, 최적화로 이어지는 일반적인 최적화 방법과 달리 본 연구에서는 근사모델 구성 후 신뢰도 평가를 통해 근사모델이 신뢰도 조건을 만족시키지 못할 경우 실험점을 추가하여 근사모델의 정확도를 높이는 단계를 추가하였다.(1314)  Fig. 4는 이와 같은 과정이 포함된 전체적인 최적화 수행 절차를 보여준다.

Fig. 5는 설계공간 내에 무작위로 분포시킨 실험점에서 해석 값과 근사모델을 통한 예측치를 비교한 것이다. 실험점추가를 통해 응답이 불확실한 영역에 정보를 제공함으로서 근사모델의 정확도가 개선되고 이에 따라 근사모델을 통한 예측치의 정확도가 높아지고 있음을 알 수 있다.

근사모델의 정확도를 비교하기 위한 기준 값으로는 AAE (Average Absolute Error)와 RMSE(Root Mean Square Error)값을 사용하였다. AVE는 각 실험점에서의 CFX해석값과 예측값들의 평균 오차를 나타내며 RMSE는 해석값과 예측값의 편차의 제곱을 평균한 값의 제곱근을 구한 것으로 근사모델의 정확도 평가 방법으로서 가장 널리 사용되는 방법이다. 본 연구에서는 약 1%의 터빈 등엔트로피 효율 개선을 목표로 하고 있기 때문에 0.1%이하의 오차율을 가지는 근사모델이 요구되므로 두 기준 값 모두 이 조건을 만족하도록 하였다.

Table 3은 오차검증을 위해 추가로 계산한 80개 설계점의 근사모델 오차이다. 다섯 번의 근사모델 개선단계를 통해 근사모델의 정확도를 AAE와 RMSE 모두 안정적으로 0.1%이하로 떨어뜨렸다.

Fig. 6과 Fig. 7은 각각 가장 민감도가 컸던 허브면의 설치각과 미드스팬면의 출구각에 대한 근사평면과 가장 민감도가 작았던 슈라우드면의 설치각과 목 이후 선회각에 대한 근사모델이 실험점이 추가됨에 따라 어떻게 수렴해 가는지를 살펴본 그림이다. 민감도가 큰 두 변수의 경우 실험점 추가에 따른 변화가 거의 없으나, 민감도가 작은 두 변수는 4번의 근사모델 개선단계를 거친 후에도 근사평면이 진동하고 있는 것을 알 수 있다.

Fig. 8은 각 단계에서 크리깅 모델이 예측한 최적해와 실제 해석 값을 비교한 것이다. 3번의 근사모델 개선단계를 거친 후에도 예측 값과 해석 값 사이에 아직 상당한 오차가 존재하며 이는 실험점이 충분치 않을 때 값을 왜곡하여 예측하는 내삽모델(interpolation model)의 문제점을 보여준다. 하지만 실험점을 계속 추가하여 근사모델을 충분히 성장시키자 예측 값과 해석 값 사이의 오차는 0.01%까지 수렴 하였다.

Fig. 9는 실험점 추가에 따른 각 설계변수의 최적점 변화 추이를 나타낸 그림이다. Fig. 9(a)는 민감도가 컸던 네 가지 변수에 대한 그래프로 네 변수중 상대적으로 민감도가 작았던 슈라우드면의 출구각이 근사모델 개선단계에 따라 다소 값이 진동하는 모습을 보이긴 하나 네 변수 모두 기본 형상에 대한 경향은 실험점이 추가되더라도 변하지 않는 것을 알 수 있다. 즉, 기본형상에 대해 최적형상이 더 감소한 값을 가지는지 더 증가한 값을 가지는지는 변하지 않는다. 하지만 Fig. 9(b)에서 보는 것처럼 민감도가 크지 않았던 세 변수는 근사모델 개선단계가 진행됨에 따라 설계공간 내에서 최적점의 위치가 심하게 진동하는 것을 알 수 있다. 하지만 근사모델이 어느 정도 수렴한 4단계에서 5단계로 넘어갈 때는 이러한 변수들도 어느 정도 수렴해 가는 양상을 보여준다.