Introduction

캐비테이션 유동의 지배방정식은 아래와 같은 질량 및 운동량 보존 방정식을 포함한다.

여기서 t는 시간이며, u는 속도이다. i,j,k는 x,y,z방향을 가리키며, p는 압력이다. 위 두 식에서 ρ_m, μ_m는 액체와 기체의 평균 밀도와 평균 점성계수로서, 증기 체적분율(vapour volume fraction) α_v를 이용하여 다음과 같이 계산된다.

본 연구에 사용된 난류 모델은 Scale-Adaptive Simulation(SAS)이다. SAS는 벽 근처의 유동에 대해서는 Standard RANS를 사용하며, 불안정한 흐름 영역에서는 Large Eddy Simulation(LES)를 적용한다. SAS는 난류 스케일 방정식 von Karman length-scale을 기반으로 하여 URANS의 해석에서 분해된 구조(resolved structures)에 즉각적으로 대응한다. 또한, 격자의 크기보다는 국부적인 물리적 상황에 대응하여 LES로 전환하기 때문에 효율적으로 벽 난류를 해결할 수 있다는 장점이 있다. SAS 모델의 스케일 방정식은 Rotta가 처음 제안한 후 Egorov and Menter⁽²⁷⁾가 속도장의 2차 도함수가 척도 방정식의 소스 항에 포함되어야 함을 발견하여 개선되었으며, 기존의 RANS SST 모델의 Specific turbulence dissipation rate ω에 SAS source term Q_SAS를 추가하였다.

여기서 Q_SAS와 각 모델 계수는 다음과 같다.

본 연구에서 사이드 채널 펌프의 작동 유체로 사용되는 액체는 청수(clear water)와 LPG이며 회전차 입구 영역에서 국부적인 압력 저하로 기화하는 현상이 발생하면서 펌프의 유로 내부에 캐비테이션 증기가 발생한다. Table 1은 청수와 LPG의 액체 및 증기의 물성조건을 나타낸다.

Zwart cavitation model은 캐비테이션 유동의 시뮬레이션에서 널리 사용되며, 단순화된 Rayleigh-Plesset 방정식에서 유도된다⁽²⁸⁾. 이 방정식은 시간에 따른 기포 반지름의 이차 도함수와 기포 간 상호 작용을 무시한다. 기체 부피 분율 α_v는 다음과 같은 질량 수송 방정식을 통해 계산될 수 있다.

여기서 m˙+는 증기의 발생항, m˙-는 응축항, C_vap는 액체에서 생성된 증발하는 비율 상수, Cc_ond는 증발물을 다시 액체로 재변환하는 비율 상수, α_nuc는 핵생성 부피 분율, R_B는 기포 반지름, p_v는 포화증기압, 그리고 p는 지역 압력을 나타낸다. 이 모델 상수들의 값은 각각 α_nuc = 5×10^-4, R_B = 1×10^-6 m, C_vap = 50, 그리고 C_cond = 0.01이다.

사이드 채널 펌프 해석에 사용된 형상은 실험 결과의 비교를 위해 Wang 등⁽²⁹⁾의 연구에 사용된 형상과 동일하게 설계하였다. 형상 모델링은 Ansys SpaceClaim을 사용하였다. 설계점에서의 운용 변수는 수두 H = 13.5m, 유량 Q = 10 m³/h, 회전속도 n = 1500 r/min, 비속도 ns=3.65nQ1/2H3/4=41 이다. Fig. 1에 해석 영역을 나타내었다. 사이드 채널 펌프는 suction pipe, impeller, side channel 그리고 discharge pipe로 구성되어 있다. 입구와 출구 파이프의 길이가 너무 짧은 경우 입구와 출구의 경계에 reverse flow가 발생할 수 있으므로 해석 정확도를 위해 파이프 길이를 직경의 약 8배로 설계하였다. Table 2에 사이드 채널펌프의 자세한 형상 변수를 정리하였다.

Fig. 1 
3D flow domain of the side channel pump

Fig. 2는 Ansys ICEM으로 생성한 사이드 채널 펌프 해석에 사용된 격자 시스템이다. 모든 영역을 Structured hexahedral 격자로 생성하였다. 임펠러의 블레이드와 사이드 채널의 벽은 세부적인 내부 유동 구조를 고려하여 격자를 세분화하였다. 임펠러의 블레이드의 벽에서는 y⁺가 5 이하이며, 사이드 채널 벽에서는 30 이하가 되도록 생성하였다.

Fig. 2 
Computational grid domain

Fig. 3는 격자 크기의 영향을 확인하기 위해 격자 의존도 검사를 수행한 결과이다. 해석 결과는 모두 NPSHa = 25m 에서의 SST–SAS 비정상 해석 결과를 사용하였다. 격자의 수에 따라 4개의 격자를 구성하였으며 3번 격자에서 격자의 크기 영향이 줄어드는 것으로 나타났다. 이에 따라 계산 효율을 고려하여 3번 격자를 사용하여 사이드 채널 펌프 해석을 수행하였다.

Fig. 3 
Grid independence test

흡입 파이프의 입구에는 static pressure의 조건으로 설정하였으며 출구 파이프의 출구의 경계조건은 질량 유량에 맞추어 opening 조건으로 설정하였다. 캐비테이션 조건 하에서 액체의 입구 및 출구 부피 분율은 1로 설정되었고, 기체의 경우는 0으로 설정하였다. 모든 벽은 점성 벽(No slip wall)으로 설정하였다. 비정상 유동의 해석을 위해 시간 간격은 임펠러가 1° 회전하는 시간인 1.111×10^-4s로 설정하였으며 회전 영역과 비회전 영역간의 인터페이스 설정은 Transient Rotor-Stator 기법을 사용하였다. 안정적인 해석을 위해 캐비테이션이 일어나지 않는 조건의 정상 상태 해석 결과를 초기 유동장으로 사용하였다. Table 3에 해석에 사용된 설정값을 정리하였다.

Fig. 4는 사이드 채널 펌프 내부의 속도 유선을 나타낸 것이다. 흡입 파이프를 통해서 임펠러 영역으로 유입된 유동은 방향이 축 방향에서 원주 방향으로 변경된다. 동시에 유체가 원심력에 의해 유체가 임펠러 외경 방향으로 이동하고 케이싱과 충돌하여 사이드 채널로 흐르게 된다. 임펠러의 외경 영역에서 사이드 채널로 유입되는 유체는 높은 원주 속도를 가지며 운동량을 원주 방향의 흐름을 갖는 사이드 채널로 전달된다. 사이드 채널의 외경 영역으로 유입된 유동은 내경방향으로 흐르며 임펠러와 사이드 채널 간의 운동량 교환에 의해 원주 방향 속도를 잃게 되고 다시 임펠러 영역으로 유입된다.

Fig. 4 
Streamline and Velocity distribution in Side channel pump

Fig. 5는 임펠러와 채널 사이의 순환 유동이 발달 된 구간을 나타낸 것으로 앞서 설명한 유동 형태를 잘 보여주고 있다. 임펠러 영역으로 흡입된 유동은 급격한 유로 변화로 인해 복잡한 유동 구조를 갖지만 사이드 채널을 지나면서 점차 순환하는 유동이 발달하게 되는 것이다. 이후 사이드 채널의 출구로 나아가면서 순환 유동은 다시 복잡한 흐름을 갖게 된다. 구간에 따른 순환 유동의 발달 양상을 확인하기위해 Fig. 6과 같이 유선을 보기 위한 단면의 위치를 정하였다.

Fig. 5 
Circulation flow between impeller and side channel

Fig. 6 
Cross-sectional location within flow path of side channel pump

Fig. 7은 선정한 5개 단면에서의 유선을 나타낸 것이다. 각 단면의 왼쪽은 내경 측, 오른쪽은 외경 측이다. 모든 단면에서 대체로 반 시계 방향으로 순환하고 있음을 확인할 수 있다. 또한, 원주 방향으로 흘러가며 임펠러의 원심력에 의해 순환 유동의 중심이 외경 쪽으로 밀려나는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 7 
Streamline at a five cross-section

모든 단면이 크고 작은 와류를 나타내고 있지만 θ=180º인 Section 3에서 안정적인 흐름을 보인다. 이는 앞서 설명한 임펠러와 사이드 채널 사이의 순환 유동을 가장 명확히 나타내는 모습이다. 비록 작은 와류가 형성되었으나 Section 4에서도 발달 된 유동 구조를 보인다. 이로 보아 임펠러 흡입구 주위에서 생성된 와류가 유동 발달에 큰 영향을 미치며 마찬가지로 사이드 채널의 출구에서도 같은 이유로 순환 유동의 흐름이 다시금 복잡한 구조를 가지게 되는 것으로 보인다. 그리고 입구와 출구의 중간 지점인 Section 3 주위의 영역에서는 순환 유동이 발달하게 되는 것이다.

Fig. 8은 임펠러와 사이드채널 계면에서의 교환된 질량 유량이다. 유동의 방향에 따라 두 가지색으로 나타내었다. 노란색의 영역은 앞서 설명한 바와 같이 원심력에 의해 임펠러 외경으로 밀려나 벽을 따라 사이드 채널로 유입되는 유동의 영역을 나타낸 것이고, 하늘색의 영역은 사이드 채널로 유입된 유동이 순환하여 임펠러 영역으로 다시 유입되는 유동의 영역을 나타낸다. 붉은색 점선으로 표시한 흡입구에 가까운 영역은 유동이 발달 되지 않아 불규칙한 유량 교환이 나타나지만, 그 이후에는 유동이 외경 측에서 사이드 채널로 유입되고 내경 측에서 임펠러로 유입되는 규칙적인 유동이 나타나고 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 8 
Exchanged mass flow at the interface

Fig. 9는 같은 위치의 사이드 채널 계면에서 와도(vorticity)를 나타낸 것이다. Fig. 10과 같은 붉은색 점선의 흡입구 측 영역에서 상대적으로 큰 와도가 발생하고 있다. 이는 앞서 설명한 흡입구 측에서의 불규칙한 유동과 순환 유동이 발달하는 구간을 뒷받침해주는 결과로 볼 수 있다.

Fig. 9 
Vorticity at the interface

Fig. 10 
Pressure distribution at cross-sections within the impeller region as a function of rotation

본 절에서는 사이드 채널 펌프 내부의 압력 분포를 살펴보았다. 펌프는 입구와 출구의 압력 차이(pressure difference)를 생성시켜 유체를 이송하는 기계이다.펌프 내부의 압력 분포에 대해서 아는 것은 펌프의 작동 원리와 그 특성을 이해하는 데에 큰 도움이 될 수 있으며, 다른 펌프에 비해 연구된 바가 부족한 사이드 채널 펌프의 압력 분포에 관한 연구는 앞으로의 산업에의 적용에 있어 유용한 정보가 될 수 있다. 또한, 캐비테이션 발생에 있어 압력이 미치는 영향이 매우 크므로 캐비테이션 특성을 이해하기 위해 압력 분포를 연구할 필요가 있다.

Fig. 10는 사이드 채널 펌프 내부의 속도 유선에 나타낸 전체적인 압력 분포이다. 임펠러와 사이드 채널을 따라 회전하며 압력상승이 일어나고 있음을 확인할 수 있다. 그리고 여타의 펌프와 마찬가지로 임펠러의 흡입구에서 유동이 급격한 변화를 겪어 압력이 강하하는 현상이 나타난다. 압력이 급격히 감소하게 되어 액체의 포화증기압 아래로 압력이 떨어지게 되면 캐비테이션이 발생할 수 있으며 이것은 펌프 내부에서 캐비테이션이 발생하는 주된 원인이다.⁽²⁾

Fig. 11과 같은 임펠러 영역의 xy단면(z = 0m) 에서의 압력 분포를 Fig. 12에 나타내었다. 임펠러 영역 내부의 압력 분포는 임펠러의 블레이드가 24개이므로 15°(= 360°/24) 회전하는 시간을 주기로 변동이 일어나게 된다. T를 임펠러 블레이드가 축을 중심으로 15° 회전하는 시간으로 두고 2°씩 회전(2T/15 간격)할 때마다 하나의 결과 그림을 나타내었다.

Fig. 11 
Cross-sectional location within the impeller region

Fig. 12 
Pressure distribution at cylindrical cross-sections at moments t = 9T/15 and t = T

Fig. 12의 시간에 따라 나타낸 임펠러 영역 단면에서의 압력 분포에서 공통적으로 나타나는 것은 내경에서 외경방향으로 압력이 증가하고 있으며, 또 하나는 회전에 따라 각 패시지(passage)에서의 압력이 순차적으로 증가하고 있다. 사이드 채널의 출구까지 높아진 압력은 사이드 채널 출구와 흡입구 사이의 interrupter를 지나면서 다시 압력이 감소하게 된다. 전반적인 압력은 t = 9T/15에서 가장 낮게 나타나며 t = T에서 가장 높게 나타난다. 이 두 가지 압력 분포를 비교해보면 Fig. 13과 같이 t = 9T/15의 경우에는 interrupter 사이에 하나의 패시지가 있다. 양 끝의 패시지 중 하나는 흡입파이프와 사이드 채널 간의 유로가 통하고 있고 또 하나는 사이드 채널의 출구와 유로를 통하고 있다. 반면에 t = T의 순간에는 두 개의 블레이드 면과 interrupter의 경계가 맞물리고 있으며 급격히 내부 압력이 상승하게 된다. 이러한 작용이 15° 회전 간격으로 주기적으로 나타나게 된다.

Fig. 13 
pressure distribution at cylindrical cross-sections at moments t = 9T/15 and t = T

Fig. 14는 180° 회전 시간 동안 계산된 수두 값을 나타낸 것이다. 앞서 설명한 바와 같이 내부 압력이 15° 회전하는 시간을 주기로 변동하기 때문에 수두 값 또한 같은 주기를 나타내고 있다.

Fig. 14 
Head fluctuation curve

Fig. 15은 사이드 채널 펌프의 캐비테이션 해석 결과를 검증하기 위해 벤치마크 사이드채널 펌프의 연구 결과인 Wang 등⁽²⁹⁾의 캐비테이션 성능 곡선 결과의 실험값과 비교한 것이며 NPSHa(Available Net Positive Suction Head) 값에 따른 수두의 변화를 나타내고 있다. NPSHa의 공식은 식(13)을 사용하였다.

Fig. 15 
Results of cavitation performance in a side channel pump

여기서 p_i는 펌프의 입구 압력이고, p_v은 액체의 포화증기압이다. 그리고 ρ_l 액체의 밀도이며 v₁은 펌프 입구에서의 속도이다. NPSHa의 값은 입구 압력에 따라 변하게 되며 NPSHa가 감소함에 따라 펌프에서 캐비테이션이 발생할 가능성이 증가하며 이에 따라 수두가 감소하게 된다. 수두를 계산하기 위한 공식은 식(14)과 같다.

여기서 p_o은 펌프 출구의 압력이고, p_i는 펌프 입구 압력이다.

캐비테이션 성능 곡선을 보면 NPSHa의 값이 감소할수록 수두의 값은 점진적으로 떨어지며 그 값이 감소하는 추세가 더욱 커지는 양상을 보인다. 실험값과 비교하였을 때 NPSHa 값이 수두 값에 영향을 미치지 않을 정도의 큰 값에서는 실험값과 시뮬레이션 값이 각각 11.6m와 12.5m 정도로 약 0.9m의 차이를 보이지만 NPSHa 값이 감소할수록 오차가 감소하여, 더욱 일치하는 결과를 보였다. 시뮬레이션의 NPSHa 20m의 수두 값을 기준으로 3% 감소한 약 12.15m의 수두 값에 해당하는 NPSHr(Required Net Positive Suction Head)의 값은 약 13.8m이다. 이는 실험값을 통해 제시된 13.4m의 결과와 약 3%의 차이를 보이는 결과이다.

LPG를 사용하였을 때의 결과는 수두 값이 약 13.1m를 유지하다가 NPSHa의 값이 약 16m인 지점부터 감소하여 12.65m에 이르렀을 때 3% 감소한 결과를 보였으며 청수의 경우보다 급격히 감소하는 경향을 보였다.

사이드 채널 펌프는 앞서 설명한 바와 같이 유동이 임펠러 흡입구에 유입되면서 강한 압력 강하가 발생한다. 이에 따라 임펠러 흡입구에서 캐비테이션이 발생할 가능성을 유추할 수 있다. Fig. 16은 청수를 사용하였을 때 임펠러 블레이드의 한 주기(15° 회전 시간) 내에서의 증기 체적이 서로 다른 NPSHa 조건에서 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다. 유추한 바와 같이 유동이 임펠러 영역으로 유입되는 흡입구 주위에서 캐비테이션이 발생하고 있음을 확인할 수 있다. 모든 경우의 그림에서 흡입구 경계를 따라 캐비테이션 증기가 포진되어 있다. 이는 흡입구로 유입된 유동이 급격한 유로 변경과 속도 변화를 겪으므로 발생하는 압력 강하로 인해 발생하는 결과이며, 4.2절의 압력 분포에 관해 설명한 바와 일치하는 결과이다.

Fig. 16 
Variations in cavitation vapor volume within one impeller blade cycle as a function of time and NPSHa

NPSHa 값을 따라서는 그 값이 작아질수록 캐비테이션 증기 체적이 뚜렷하게 증가하는 것을 확인할 수 있다. NPSHa = 15.3 m의 경우에는 캐비테이션 증기 체적이 흡입구 경계면으로부터 발생하여 약 한 개의 패시지 거리 만큼 확산하며, NPSHa = 10.6m의 경우는 두 개, NPSHa = 8.5m의 경우는 패시지 4개의 거리 만큼까지도 확산한다. 그리고 NPSHa 값이 감소함에 따라 임펠러의 패시지 뿐만 아니라 사이드 채널 영역까지 캐비테이션 증기가 확산되는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 17는 청수의 NPSHa = 9.5m 조건에서의 캐비테이션 증기 체적과 압력 분포를 나타낸 것이며, Fig. 18은 흡입면(Suction side)과 압력면(Pressure side)에서의 증기 체적 분율의 분포를 나타낸 것이다. 캐비테이션 증기 체적을 보면 임펠러 블레이드의 흡입면 가까이에 분포되어 있음을 확인할 수 있다. 임펠러의 회전에 따라 압력면과 흡입면이 생성되는데, 각 패시지에서는 두 면 사이에서 압력 구배가 형성되고 액체와 기체 간의 밀도 차이에 의해 캐비테이션 증기는 흡입면 가까이에 분포하게 된다. 원심력에 의해 생성된 압력 구배에 의해 임펠러 내경 가까이에 분포하는 것 또한 확인할 수 있다. 그리고 각 패시지에서 생성된 캐비테이션 증기는 임펠러의 회전에 따라 고압의 영역으로 흘러가며 소멸하게 된다.

Fig. 17 
Cavitation vapor volume and pressure distribution

Fig. 18 
Distribution of vapor volume fraction at the pressure surface and suction surface

Fig. 19는 NPSHa 값에 따른 청수와 LPG의 증기 체적을 나타낸 것이다. 앞서 설명한 바와 같이 NPSHa 값이 감소할수록 두 가지 유체 모두 증기 체적이 증가하는 것을 확인할 수 있다. 하지만 청수에 비해 LPG의 증기 체적은 NPSHa = 11.85m 지점에서 급격히 증가하였다.

Fig. 19 
Variations in cavitation vapor formation with NPSHa

NPSHa = 12.5m 이상의 조건에서는 청수와 LPG의 캐비테이션 유동 양상이 특별한 차이를 보이지 않았지만 NPSHa = 11.85m 이하의 조건에서 차이를 보였다. 이 차이를 확인하기 위해 두 유체의 NPSHa 값에 따른 증기 체적 그림을 Fig. 20에 나타내었다. 앞서 언급한 바와 같이 NPSHa = 12.5m 이하의 조건에서는 두 유체 증기가 나타나는 양상에 차이가 나타나지 않지만, LPG 해석의 NPSHa = 11.85m의 조건에서는 흡입부의 사이드 채널에서 증기 체적이 크게 확산한 것을 확인할 수 있다. 이는 더 낮은 NPSHa = 8.5m 조건에서의 청수 해석 케이스보다 더욱 뚜렷하게 나타나는 모습이다. 그리고 캐비테이션 증기의 체적 값 또한 NPSHa = 11.85m의 LPG 증기가 더 많이 발생하였다. LPG 해석의 결과에서 이러한 급격한 증기 발생이 나타나는 원인을 밝히기 위해 내부 유동을 조사하였다.

Fig. 20 
Variations in appearance of cavity volume with NPSHa

Fig. 21은 LPG 해석의 NPSH = 11.85m 조건에서 속도 유선과 압력 분포를 나타낸 뒤 압력이 낮은 영역을 집중적으로 탐색하기 위해 Contour legend의 투명도를 조절한 그림이다. 투명도에 의해 저압의 영역이 뚜렷하게 나타나는 것을 확인할 수 있다. 그리고 앞서 보았듯이 유동이 임펠러 영역으로 유입되어 임펠러의 회전과 함께 흘러가는 영역, 흡입부의 사이드 채널 영역에서 압력이 상대적으로 훨씬 낮은 것을 확인할 수 있다. 하지만 두 영역에서 발생하는 캐비테이션은 서로 다른 방식으로 발생하는 것으로 보인다. 앞선 결과와 함께 보았을 때 흡입부 임펠러 영역에서는 NPSHa의 감소와 함께 캐비테이션 증기가 지속적으로 나타나지만 흡입부의 사이드 채널 영역에서 나타나는 캐비테이션 증기는임계점의 이하의 NPSHa 조건에서 나타난다는 것을 알 수 있다. 이 원인은 그림에서 확인할 수 있듯이 흡입부 사이드 채널 영역에서 존재하는 스월(Swirl)에 의한 것으로 보인다.

Fig. 21 
Pressure distribution under the condition of LPG with NPSHa = 11.85m

Fig. 22를 보면 이 영역에서 강한 스월이 발생하고 있음을 확인할 수 있다. 또한, Fig. 23은 다른 영역을 제외한 사이드 채널 영역에서의 Swirling Strength = 1600s-1의 값을 갖는 영역을 나타낸 와류 구조이다. 스월 유동으로 인해 큰 부피의 와류 구조가 나타나고 있으며 캐비테이션 증기가 발생하는 영역과 일치함을 확인할 수 있다. 그리고 앞서 살펴보았듯이 순환 유동이 사이드 채널을 따라 출구로 흐르며 유동이 발달하게 되는데 이에 따라 와류 구조는 서서히 소멸하게 된다.

Fig. 22 
Swirling strength under the condition of LPG with NPSHa = 11.85m

Fig. 23 
Vortical structure in the side channel under the condition of LPG with NPSHa = 11.85m

흡입부 사이드 채널 영역에서의 스월은 사이드 채널 펌프 해석의 모든 케이스에서 확인되며 시간에 따라서도 사라지지 않고 지속적으로 나타난다. 이는 사이드 채널의 형상으로 인해 발생하는 특징적인 유동 구조인 것이다. 스월의 중심부는 상대적으로 압력이 감소하게 되고, 이 영역에서의 압력이 임계점의 NPSHa에서 포화증기압 이하로 감소하면서 캐비테이션 증기가 급격히 확산하게 된다.