Introduction

수력 발전의 원리는 물의 저장된 곳과 터빈의 높이차이 즉, 유체의 위치에너지를 이용하여 발전한다. 원칙적으로, 터빈은 댐의 수위보다 훨씬 낮은 고도에 위치하는데 이 높이 차이를 일반적으로 수두라고 한다. 물은 댐에서 터빈으로 전달되는 과정에서 위치에너지를 보다 유용한 운동 에너지로 전환시키고 노즐을 이용하여 유체에 고속 제트를 생성한다. 아래의 Bernoulli 방정식을 사용하여 유체의 속도를 계산할 수 있으며 여기서 마찰로 인한 시스템의 손실은 고려하지 않는다.

성능 평가를 위한 효과적인 도구인 상대 속도 및 속도 삼각형은 터빈 기관에서 유체 속도의 여러 구성 요소를 나타내는 속도 다이어그램이다. Fig. 2는 Pelton 터빈의 속도 삼각형을 나타낸다. 이는 유체 제트와 터빈 버킷 사이의 상호 작용을 보여준다.

Fig. 2 
Velocity Triangle for Pelton Turbine

진입 전, 제트기는 초기 속도 v₁로 움직이고 회전중인 버킷과 제트 간의 상대 속도는 다음과 같다.

입구에서, 초기 속도의 수평 성분(v_w1)은 초기 속도 (v₁)와 동일하다. 유체 흐름은 2개의 동일한 버킷으로 나누어지는데 버킷의 형상학적 대칭으로 인해 분석은 한쪽만 진행하였다. 제트는 x축 양의 방향에서 반시계 방향으로 일정 각도를 이루며 버킷에서 빠져 나오는데 이는 일반적으로 165∼170˚를 이룬다. 이상적인 경우 출구와 입구의 상대 속도는 동일하여야 하지만 마찰과 같은 실제적인 요소에 의해 유체가 버킷 표면을 흐를 때 유체 속도를 늦추므로 출구에서의 상대 속도가 입구에서의 상대 속도보다 작게 된다.

버킷이 받는 동력은 아래의 식처럼 단순히 버킷의 충격력과 버킷 속도의 곱으로 나타낼 수 있다.

효율은 식 (4)와 같이 노즐을 빠져 나올 때 유체 제트 힘에 대한 버킷에 전달되는 동력의 비율로 표현 할 수 있고, 유체 제트의 힘은 식 (5)와 같이 표현 할 수 있다.

공기 주입에 따른 출력 및 효율은 기존 펠톤 터빈의 계산식과 다른 방정식을 이용하여 주입된 공기의 유량과 정적 압력을 고려하여 계산하였다. 주입된 공기에 의한 에너지는 식 (6)과 같이 공기의 유량, 정압 및 시간의 곱으로 표현된다. 수두 내의 공기의 정압(P_s)은 공기가 주입된 수두 단면에 베르누이 방정식을 적용하면 식 (7)과 같이 도출되며, 이를 바탕으로 공기가 주입됨에 따른 터빈의 효율은 식 (8)과 같다.

Pelton 터빈 설계의 주요 목표는 최대한의 효율을 달성하는 것이므로 이것은 터빈이 워터 제트로부터 최대 동력을 끌어 내야한다는 것을 의미한다. 동력은 버킷 속도와 충격력의 곱이므로 충격력과 버킷에 작용하는 힘이 모두 최대일 때 최대 동력이 얻어진다. 이상적으로 가능한 버킷의 최대 속도는 제트 속도와 같지만 제트와 버킷이 같은 속도로 움직이게 되면 제트는 버킷에 충돌할 수 없기 때문에 충격력이 0이 되어 아무런 힘도 작용하지 않게 된다. 다른 한편, 최대 충격력은 버킷이 정지 상태 일 때 발생하는데 버킷이 움직이지 않게 되면 버킷 속도가 0이 되어 결국 발생 된 전력은 다시 0이 된다.

즉, 충격력과 버킷 속도의 최대 조건 모두에서 전력 추출은 0된다. 따라서 발생하는 동력이 최대가 되는 이상적인 최적 조건은 버킷 속도가 제트 속도의 중간 일 때 발생하며 이러한 조건에서 Pelton 터빈은 90%의 높은 효율을 보여준다. 그러나 실제로는 버킷 속도와 제트속도의 비가 0.5보다 약간 작은 0.42~0.48 사이에서 최고 효율이 나타난다.⁽¹⁰⁾

Pelton 휠의 치수 지정에는 몇 가지 일반적인 기준이 있다. 수두 및 유속은 Pelton 터빈을 설계 할 때 터빈의 적정전력과 크기를 결정하는 중요한 변수로 터빈의 설계는 Pelton터빈 휠의 치수 선정, 회전 속도의 선정 및 인젝터 개수를 결정하면서 시작된다.⁽¹¹⁾

Pelton 터빈의 기본 치수는 이러한 모든 기준을 조합하여 정의 할 수 있으며 설계의 나머지 변수는 이러한 기본 치수에 따라 정의 할 수 있다.

∙ 제트 속도비 k의 범위는 0.45에서 0.48이여야 한다.
∙ 버킷의 넓이는 제트 지름의 약 3배로 설계한다.
∙ 비속도(rps)는 0.13미만이여야 한다.

식 (9)은 제트 속도 v₁에 대한 버킷 속도 u의 비 k를 나타내고 식 (10)은 회전속도 n, 제트의 유량 Q˙_jet와 압력수 두 H의 관계식인 비속도(rps)를 나타낸다.

5kW, 100kW 및 100kW 더블 노즐을 적용한 Pelton 수차의 설계 값들은 Table 1에서 볼 수 있다.

5kW급 수차와 100kW급 수차의 가용 수두는 동일하다는 가정 하에 유량을 증가시켜 출력을 맞추어 주었고, 회전속도, 버킷의 깊이와 길이 등 주요 변수들은 출력에 맞게 설계하였다.

운동량, 열 및 물질 전달의 과정을 설명하는 유체 흐름의 지배 방정식은 Navier-Stokes 방정식으로 알려져 있다.⁽¹²⁾ Navier-Stokes방정식을 푸는 수치해법의 종류에는 유한차분법, 유한요소법 및 유한체적법이 있는데 CFX는 가장 보편적인 유한체적 기법을 사용한다. 이 기법에서, 해석 영역은 작은 체적으로 나누어지고, 도메인 전체의 특정 지점에서 각 변수 값의 근사 값을 얻어 유체 흐름을 전체적으로 해석한다. CFX에서 다상-다종 유체의 수치해석은 다음의 수송방정식인 연속방정식과 운동량방정식에 의해 계산된다.

여기서 r, ρ, Y, U, S, p, Γ 는 각각 체적분율, 밀도, 질량분율, 유속, Source, 압력, 확산성을 의미한다. 각 함수의 아래첨자로 표시되어 있는 기호 중 α, β, γ 는 서로 다른 상을 의미하고 A, B, C ..는 서로 다른 성분을 의미한다.

가장 널리 사용되는 난류 모델로는 k-ε turbulence model 및 Wilcox k-ω turbulence model, Shear stress transport model이 있다. Wilcox 모델은 자유 흐름 조건에 대한 민감도가 높다는 단점이 있다. 이를 보안하기 위해 표면부에는 k-ω 모델을, 외부영역에는 k-ε를 사용하는 BSL k-ω 모델이 Menter에 의해 만들어졌다.⁽¹³⁾ 하지만 BSL k-ω 모델은 부드러운 표면에서의 박리현상에 대해 정확한 해석이 불가능하다는 단점이 있다. 본 연구는 박리현상과는 무관하기 때문에 k-ε turbulence model과 Wilcox k-ω turbulence model의 장점에 근거하는 Shear stress transport model을 사용하였다. 2상(액체, 기체)과 2종(물, 공기) 해석을 수행하기 위해 SST모델을 적용한 해석방식은 CFX에서 가장 정확한 결과를 제공한다.^(14-16)

5kW 수차의 성능분석 및 최적 회전속도를 도출하기 위해 Fig. 3에서와 같이 550 rpm에서 950 rpm까지 5가지 케이스가 연구되었고 그에 따른 결과는 Table 2에 나와 있다. Table 2에서는 수두, 유량, 제트 속도는 동일하다는 조건에 rpm에 따른 수차의 출력과 효율 및 제트 속도비를 나타내었다. 회전속도가 750 rpm일 때 최고 효율을 얻었으며 그에 상응하는 터빈의 전력은 4.93kW이었다. 또한, 터빈의 효율이 최대일 때 제트 속도비 k값은 0.46으로 얻어졌으며, 이값은 일반적인 Pelton 수차의 제트 속도비 값의 범위에 있다. 고효율 Pelton 터빈의 전형적인 제트 속도비는 0.45~0.48의 범위를 갖는데, 5kW 수차의 회전속도가 750 rpm일 때 속도계수가 0.46로 계산되었고 이는 고효율 범위 내의 값임을 알 수 있다.

Fig. 3 
Runner Efficiency and Power with Rotational speed

또한, 최고 효율 값은 85.39%로 소수력 펠톤 터빈임을 고려할 때 매우 높은 편이다. 따라서 이 5kW급 수차 설계 모델이 신뢰할 수 있는 수준이며 향후 다른 연구에도 사용될 수 있음을 보여준다.

일반적인 작동 조건은 5kW 터빈과 동일하지만 유입구 경계 조건에서 유량만 변경하여 수행하였다. 5kW 터빈과 동일한 수두를 조건으로 하기에 유량을 17.96l/s에서 346l/s로 변경하여 100kW 터빈을 설계하였다. Table 4는 일반적인 100kW 펠톤 터빈의 출력 및 효율을 나타내고 Table 5는 공기주입에 따른 100kW 수차의 효율 및 출력을 보여준다. Table 4에 따르면 100kW 펠톤 수차가 5kW 펠톤 수차와 효율이 차이가 없음을 알 수 있다. 이는 기하학적 상사와 가용 수두가 동일한 점에서 비롯되기 때문이다. Table 5에서도 앞선 5kW 펠톤 수차의 결과와 같이 공기주입량을 15%까지 증가시키면 출력은 약 37%, 효율은 13%가 증가하는 것을 확인 할 수 있다. Fig. 9와 Fig. 10에서는 일반 수차의 성능과 공기주입에 따른 성능 차이를 그래프로 표현하였다.

Fig. 9 
Power Comparison of Normal and Air Injected Operation in 100kW Pelton Turbine

Fig. 10 
Efficiency Comparison of Normal and Air Injected Operation in 100kW Pelton Turbine

이중 노즐의 펠톤 수차 분석 결과는 Table 6에 나와 있다. Fig. 11과 Fig. 12는 일반적인 수차에 대해 이중 노즐 터빈의 동력과 효율 증가율을 각각 나타낸다. Fig. 11과 Fig. 12에 따르면 이중 노즐 분사식 100kW 펠톤수차는 일반적인 100kW 수차보다 출력은 35%, 효율은 13%가 증가하였다.

Fig. 11 
Power Comparison of Normal and Air Injected Operation in 100kW Pelton Turbine with Two Nozzle

Fig. 12 
Efficiency Comparison of Normal and Air Injected Operation in 100kW Pelton Turbine with Two Nozzle

Table 5와 Table 6을 비교해보면 두 개의 노즐이 적용된 모델이 단일 노즐보다 높은 터빈 출력을 발생시킨다는 것을 알 수 있다. 이를 그래프로 표현한 Fig. 13에서는 단일 노즐 펠톤 수차와 이중 노즐 펠톤 수차의 출력 및 효율을 비교 할 수 있다. 여기서 이중 노즐이 적용된 모델이 단일 노즐 펠톤 수차의 출력과 효율보다 높은 이유는 노즐에서 분출되는 제트에 의해 부분 부하를 받는 면적이 넓을수록 출력과 효율이 증가하는 펠톤 수차의 자연적인 특성에 의해 발생한다.

Fig. 13 
Comparison of Power and Efficiency of Air Injected Operation of One and Two Nozzle 100kW Turbine