Introduction

머드를 주입하여 거동을 비교하는 비정상 유동해석을 수행하기 위하여 VOF(Volume Of Fluid)법을 이용하였다. 또한 머드 탱크 성능특성을 비교하는 해석을 수행하기 위하여 정상 및 비정상 유동해석을 수행하였다. 머드 탱크의 정상 및 단상 유동해석에는 MRF(Multiple Reference Frame)를 이용하였고, 비정상 및 다상유동 해석에는 슬라이딩 격자법(Sliding Mesh Method)과 VOF법을 이용하였다. 머드의 CFD 해석에 사용한 유동해석의 지배방정식은 식(1), 식(2)에 나타내었다. 이들은 각각 질량 보존 및 운동량 보존을 표현하는 것으로 일반적인 Navier-Stokes방정식을 표현하는 것이다.

여기서, ρ는 밀도[kg/m³], u는 속도[m/s], p는 압력[Pa], τ는 응력 텐서[Pa], ρg 및 F는 중력[N/m³] 및 외력이다.

전단 응력 τ를 식(3)과 같이 뉴턴의 점성법칙으로 모사하는 것은 일반적인 점성유동 해석으로 가능하다. 그에 반해, 비뉴턴 유체의 리올로지(Rheology)에 관하여는 몇 가지 모델이 존재하며 비뉴턴 유체의 특성에 따라서 그에 맞는 모델을 선택하여야 한다. 점도는 식(3)의 뉴턴유체로 가정하여 전단 속도의 변화에 대해서 고정된 기울기를 가는 것으로 모사할 수 있고 식(4)와 같이 일정한 항복 응력을 가지도록 빙햄 소성 유체(Bingham Plastic Fluid)로 모사 할 수 있다.

여기서 μ는 유효 점도(effective viscosity), τ_γ 는 항복점(yield point)[Pa], μ_p는 소성점도(plastic viscosity)[kg/ms], γ는 전단 속도(Shear rate)[s^-1], τ는 전단 응력[Pa]이다.

시뮬레이션1, 시뮬레이션3에서는 자유수면을 포함한 머드의 해석을 수행하였다. 공기와 머드 사이의 자유수면을 추적하기 위하여 식(5)과 같은 연속방정식 형태의 체적분율(Volume fraction)에 대한 추가방정식을 구성한다. 상간의 질량 전달 및 생성을 무시하는 경우 해당 항은 0이다.

체적분율(Volume fraction equation)

여기서 m^._qp는 상q에서 상p로의 질량 전달량, S_αq는 생성항, ρ는 밀도[kg/m³], α는 각상의 체적분율이다.

본 논문에서는 범용 유동해석 프로그램인 ANSYS Fluent 15.0을 사용하였으며 ANSYS Fluent에서는 제1상을 제외한 상에 대하여 방정식을 풀고 식(6)과 같이 셀에서의 체적분율이 1이 되도록 계산하는 방법을 사용한다. Fig. 1에 식(6)의 이미지를 표시하였다.(8)

Fig. 1. 
Fluid components of 2phase(Air/Mud) flow

Fig. 1에 나타낸 바와 같이 본 논문에서 다루고자 하는 머드는 실선 사용가능한 물성으로 가정하였고 공기는 대기에 노출된 상태로 가정하였다.

이미 언급한 바와 같이, 교반기의 성능을 나타내는 중요한 지표 중 하나는 혼합 성능이다. 교반기가 내부 유체를 잘 섞어주는지를 판단하기 위하여 혼합 시간을 측정하였다. 혼합 시간을 측정하기 위하여 머드에 식(7)과 같은 가상의 추적 입자를 분포시키고 이를 추적하여 체적분율이 일정하게 수렴하는 시간을 혼합 시간으로 판단하였다. 식(7)은 추적 입자의 수송 방정식이다. 결국, 상기 기본 방정식에 임의의 스칼라 함수를 하나 더 추가하는 것으로 혼합 시간을 추정할 수 있다.

여기서 C는 추적 입자의 농도, u는 머드의 속도장, D는 질량확산 계수이다.

문제를 간단히 하기 위하여 식(7)에서 확산항을 제거하였다. 확산항을 제거하여 모델링한 근거는 식(8)에 나타낸 바와 같이 페클레수를 기준으로 하였다.

여기서 L은 특성길이, U는 대표속도, D는 질량확산 계수이다.

일반적인 액체의 확산 계수는 10^-9정도이기 때문에 Pe≫1이다. 따라서 본 논문의 경우 질량확산은 무시하고 대류가 지배적인 유동장이라고 판단하여 추적 입자의 수송방정식에서 대류항만을 고려하여 추적하는 것으로 하였다.

교반 소요동력을 결정할 때 중요한 무차원 수는 식(9)의 교반 레이놀즈 수와 식(10)의 동력 수이다. 식(11)은 임펠러가 머드를 토출하는 능력을 평가하기 위한 지표로 사용하는 무차원 수인 유동 계수이다. 식(12)는 유동 계수와 동력 수의 비율로 표시되는 토출 유용도(Pumping effectiveness)이다. 이는 소요 동력 대비 임펠러의 토출 능력을 나타내는 지표로 임펠러의 작동 효율을 평가하는 무차원 수이다. 실제 적용되는 교반기의 교반 성능은 액체의 용량 및 점도, 교반기의 회전수, 교반기 임펠러의 종류 이외에도 교반조의 형상 및 방해판과 같은 다양한 변수가 적용되기 때문에 엄밀하게 실험 및 해석을 통하여 산정하여야 한다. 교반 소요동력은 식(13)으로부터 산정하거나 식(14)를 이용하여 실험 시에 토크 메타로 읽은 토크 값 혹은 CFD 해석에 의한 토크를 이용하여 산정할 수 있다.(9)

여기서 ρ는 밀도[kg/m³], d는 임펠러 직경[m], n은 회전수[rps], Q_p는 펌핑 유량[m³/s], μ는 점성 계수[kg/ms], Τ_q는 토크[Nm]이다.

Fig. 5(a)~(c) 는 머드를 상부에서 주입 할 때 자유수면의 변화를 해석한 결과이다. 각각 점도가 0.035 P_aㆍs, 0.028 P_aㆍs인 경우의 그리고 비뉴턴 유체로 0.021 P_aㆍs인 결과이다.

Fig. 5. 
Comparison of free surface between newtonian and non-newtonian fluid, (a) at 0.05 sec, (b) at 0.2 sec, (c) at 0.5 sec.

600 rpm에서 측정한 유효 점도로 계산한 경우의 전단 속도가 가장 빠르며 300 rpm, 비뉴턴 유체로 모사한 경우에 비하여 이동거리가 길다. 비뉴턴 유체는 전단력이 작은 영역에서는 고체에 가까운 거동을 보이기 때문에 주입되는 지점에서 일정 거리에 다다르면 흐르지 않고 쌓여 부풀어 오르는 형태가 된다. Fig. 5(a)의 결과와 같이 상부에서 주입한 머드는 중력가속도의 영향을 주요하게 받고 밀도가 동일하기 때문에 낙하 시에는 거의 유사한 프로파일을 가지고 있다. 점도가 높은 300 rpm의 경우는 연속적인 액적의 형태를 유지하지만 600 rpm 및 비뉴턴 유체의 경우는 액적이 끊어져 있는 것을 확인할 수 있다. Fig. 5(b)의 0.2초의 공기와 머드의 경계면을 비교하면 뉴턴 유체로 가정한 경우에는 면을 따라 자연스럽게 퍼져가는 거동을 보이며 비뉴턴 유체는 벽면을 따라 흐르지 않고 적체되어지고 있는 것을 볼 수 있다. Fig. 5(c)의 0.5초에서는 비뉴턴 유체로 가정한 경우, 낙하지점 상부로 쌓여 부풀어 오르는 것과 같은 형상을 볼 수 있다. 이는 전단 응력과 전단 속도가 작은 영역에서 비뉴턴 유체의 항복 응력의 영향이라고 판단된다.

교반기의 교반 특성을 평가하기 위한 CFD해석은 정상 상태 해석을 수행하였고 MRF 모델을 이용하여 임펠러의 회전시의 토크를 계산하였다. Fig. 6은 토크의 수렴 상태를 나타내고 있다. 토크 및 임의의 포인트에서 속도가 일정한 값으로 수렴하는 상황을 보고 유동장의 수렴판정을 하였다.

Fig. 6. 
Convergence history of Torque

Fig. 7에 뉴턴 유체 및 비뉴턴 유체의 유동장을 나타내었다. Fig. 7(a)에 나타난 것과 같이 비뉴턴 유체로 가정한 case2, case4의 경우, 상부 및 교반기 벽 부근의 임펠러에서 먼 곳에는 상대적으로 저속의 영역이 존재한다. 또, Fig. 7(b), (c)의 뉴턴 유체로 가정한 case1, case3은 벽면 근처에서 유속분포가 비교적 불균일하고 고속의 영역이 넓게 분포하고 있다. 비뉴턴 유체는 운동량의 전달이 항복응력 만큼 저하되어 블레이드 근방의 유속에 비하여 교반조의 벽근처, 상부와 같이 블레이드에서 먼 지점의 유속은 상대적으로 느리게 분포 하고 있는 것을 볼 수 있다. Fig. 7과 같이 계산된 유속의 분포가 다르기 때문에 머드 탱크의 입구 및 출구 조건을 결정해야 하거나 유속 및 전단력의 분포를 파악해야 하는 문제에 대해서는 유체 모델의 선정을 신중히 하여야 한다.

Fig. 7. 
Velocity distribution, (a) elevation view, (b) plan view of z=0 m height, (c) plan view of z=1 m height.

Table 6에는 뉴턴 유체 및 비뉴턴 유체의 소요동력과 토크를 나타내었다. 동일한 밀도에 대해서 비뉴턴 유체로 모델링하는 경우 대비 뉴턴 유체로 가정한 케이스는 각각 case1이 case2에 비하여 19%, case3이 case4에 비하여 15% 높은 소요동력을 추정하였다.

Fig. 8에는 임펠러 블레이드의 높이 블레이드 중심에서 반경 방향의 속도 분포 및 전단 속도의 분포를 나타내고 있다. Fig. 7의 속도 분포와 비슷한 경향으로 임펠러 중심부근에서는 비뉴턴 유체로 가정한 경우의 속도가 크고 임펠러에서 멀어질수록 뉴턴 유체로 가정한 경우의 속도가 크게 분포하는 것을 볼 수 있다. 운동량 전달의 경향이 다르기 때문에 비뉴턴 유체를 뉴턴 유체로 가정하고 계산하였을 경우 모든 결과 값은 상당한 차이를 보이는 것을 알 수 있다. 비뉴턴 유체의 경우 Fig. 8의 유속 프로파일과 같이 임펠러 반경인 0.75 m까지는 비뉴턴 유체의 유속이 높다. 이 결과 비뉴턴 유체의 경우 토출유량이 많고 토출 유용도가 높은 계산 결과를 보인 것으로 추정된다.

Fig. 8. 
(a) Velocity magnitude and (b) Strain rate along a radial line at z=1 m height.