Introduction

난류 유동장의 수치해석적 기법은　DNS(Direct Numerical Simulation), LES(Large Eddy Simulation), RANS(Reynolds Averaged Navier-Stokes simulation)으로 나뉜다. 난류 유동장에서는 크고 작은 다양한 크기의 와류가 혼재하기 때문에 전체 와류의 정확한 계산을 위해 계산 격자 크기를 와류 구조의 공간 스케일(scale) 이하로 하면서 시간 간격을 와류 변동의 시간 스케일 이하로 해야 한다. 그러나 DNS와 LES는 와류를 해상하기 위해 큰 계산시간과 자원이 필요하므로 실용적으로 적용하기 어려움이 있다.

이에 비해, RANS는 시간적으로 평균화된 Navier-Stokes 방정식을 계산하여 난류의 영향을 모두 모델화한다. RANS는 DNS나 LES에 비해 유동장의 해상정도는 낮지만 고해상도의 계산 격자를 필요로 하지 않기에 실용적으로 적용할 수 있어 본 논문에서 사용하였다. 난류 모델은 SST(Shear Stress Transport)를 활용해 Ansys CFX를 이용하여 분석하였다.

사류 펌프 형상은 Fig. 1에 도시하였다. 본 해석에 사용 된 펌프의 설계 유량은 8 m³/min 이고 수두는 약 13 m 이다. 해석을 위한 경계 조건은 Table 1에 작성하였다. 비회전 영역과 회전영역 사이에는 프로즌 로터 인터페이스를 사용하였다. 이는 인터페이스 면에서 넘어가는 데이터를 평균화 없이 전송하는 방법이다. 입구 출구 조건은 각각 압력과 유량을 입력하여 해석을 진행하였다. 유량은 6∼9 m³/min으로 총 5가지 케이스를 해석하였다. 질량과 에너지의 불균형 값은 각각 1.0×10^-5 과 1.0×10^-4 까지 수렴하도록 해석을 진행하였다.

Fig. 1 
3D geometry of mixed-pump

펌프의 성능을 나타내는 무차원 수는 유량 계수(Φ), 수두 계수(Ψ), 축동력 계수(λ), 총효율(η)이 있다. 각 계수는 식 (1)∼(4)로 계산된다.

여기서 C_m2는 임펠러 출구에서 절대 속도의 자오면 성분, U₂는 임펠러 출구에서의 회전 속도, g는 중력가속도, H는 총수두, L은 축동력, ρ는 물의 밀도, A₂는 출구 넓이, T는 임펠러와 허브의 토크, ω는 각속도를 의미한다.

공동 현상을 모의하기 위하여 다상 모델 중 RPE(Rayleigh-Plesset equation)를 사용하였다. 열에 의한 항을 무시한 RPE는 식 (5)와 같이 구성된다.

여기서 R_b는 액적의 반경, S는 액적의 표면장력, ρ_l는 액체의 밀도, P_v는 포화 압력이다. 식 (5)에서 가속에 대한 항을 무시하면 식 (6)과 같이 쓰여진다. 단위 부피당 공동의 수(N_b)는 기화에 의한 식 (7)과 응축에 의한 식 (8)에 의해 계산된다.

여기서 α_v와 α_vc는 각각 증기 부피 분율(vapor volume fraction), 핵 사이트 부피 분율(nucleation site volume fraction, preferred α_vc=5×10^-4)이다. 총 물질전달률(m˙)은 식 (9)와 같이 계산된다. 기화에 의한 정의m˙+는 식 (10), 응축에 의한 정의m˙-는 식 (11)이다.

여기서 C_e와 C_c는 상변화에서의 실험 계수이다. 실제로 기화와 응축은 각각 다른 시간 척도를 가지며, 응축이 일반적으로 더 느리다. 실험 계수는 이러한 제약 조건을 허용하기 위해 사용된다. 일반적으로 기화에 대한 C_e=50이고 응축에 대한 C_c는 0.01 이다.^(2,3,4)

물과 증기의 온도는 25 ℃이고 포화 압력은 3173 Pa로 설정하였다. 다른 조건들은 이전과 동일하게 진행하였다.

ANSYS Turbogird를 활용하여 약 1,100,000 개의 정렬 격자를 구성하였고 Fig. 2에 도시화 하였다. 임펠러의 y⁺는 20이하로 설정하였다. 실제 SST 모델에서 y⁺는 1 이하로 선정하는 것이 해석 정확도가 높으나 본 해석에서는 종횡비를 맞추기 위해 20 이하로 설정하였다. 임펠러 표면에서의 y⁺는 Fig. 3에 표현하였다.

Fig. 2 
Hexaheral grid system for numerical analysis

Fig. 3 
Distribution of y⁺ on impeller surface

Fig. 4에 격자 민감도 분석 진행 결과를 도시화 하였다. 최소 격자수는 약 310,000 개 이고 최대 격자수는 약 2,030,000 개 이다. Fig. 4에서 계산된 총효율은 최대 총효율(η_max)로 나누어진 무차원화된 값이다.

Fig. 4 
Results of grid dependency test

임펠러 내부의 와류 구조를 특이점 이론, 와류 구조의 확률적 정의 및 전산유체해석 결과를 활용하여 시각화하였다. 가시화된 와류 코어는 와류의 회전 방향을 시각화하기 위해 정규화된 나선도로 채색하였다. 정규화된 나선도(H_n)는 식 (12)에 의해 정의된다.

여기서 ζ는 절대 와도 벡터(absolute voticity vector)이고 ω는 상대 속도 벡터(relative velocity vector)이다. Fig. 5는 정규화된 나선도 변화에 따른 회전 방향을 보여준다. H_n은 다음과 같은 물리적 의미를 갖는다. H_n≻0이면 와류가 오른손 법칙에 따라 축방향으로 회전 및 이동하고, H_n=0이면 와류가 정체 및 회전 상태임을 의미하며, H_n≺0이면 와류가 오른손 법칙의 반대 방향으로 회전하며 축방향으로 이동한다는 의미이다.

Fig. 5 
Rotation direction according to normalized helicity

전산유체해석 결과는 한국생산기술연구원에서 진행한 실험 데이터를 바탕으로 검증되었다. 펌프의 성능 곡선을 통해 검증한 결과는 Fig. 6에 나타냈다. 유량 계수(Φ)는 0.14, 0.17, 0.18, 0.19, 0.22이며 각각 유량이 6, 7, 7.5, 8, 9 m³/min 일 때를 나타낸다. 유량이 7.5 m³/min일 때 실험값의 효율은 80.8 % 이고 해석값의 효율은 78.5 %로 BEP(Best Efficient Point)가 동일한 유량에서 발생함을 확인했다. 그러나 수두값이 유량 9 m³/min일 때 최대 오차 17.7%가 발생하였다. 이에 따라 유량이 9 m³/min일 때 효율값이 실험과 차이가 있음을 확인했다. 전체적으로 오차는 약 6.8 %로 유량에 따른 수두와 축동력의 경향성은 실험과 유사함을 확인했다.

Fig. 6 
Performance curve of experimental test and numerical analysis

자오면에서의 임펠러의 형상은 Fig. 7에 도시하였다. 유량이 6, 7.5, 9 m³/min에서의 압력과 절대 속도의 분포를 Fig. 8에 도시하였다. 유량 6, 7.5, 9 m³/min에서의 압력의 최대값은 각각 173 kPa, 142 kPa, 89 kPa이고 유속의 최대값은 각각 14.39 m/s, 10.14 m/s, 8.83 m/s이다. 유량이 6 m³/min일 때 임펠러 입구의 슈라우드 부근에서 재순환(recirculation)이 발생함을 확인하였다. 또한 유량이 9 m³/min일 때 임펠러 출구에서 균일하지 않은 압력강하가 발생함을 확인하였다. 이러한 원인으로 BEP는 설계 유량 근처에서 발생한다.

Fig. 7 
Schematic of meridional view

Fig. 8 
Pressure and absolute velocity contour on the meridional plane at (a) Q = 6 m³/min (b) Q = 7.5 m³/min (c) Q = 9 m³/min

2.1.4절에서 기술한 유동 가시화 방법을 통해 유량이 7.5 m³/min일 때의 전산유체해석 결과를 분석하였다. Fig. 9는 임펠러의 흡입면에서의 와류의 시작점을 나타냈고 Fig. 10은 동일 위치에서의 유동 가시화를 표현하였다. 팁 간극에 의해 발생한 팁 누설 와류는 흡입면에서 고정된 토네이도 와류(H_n=0)로 형성되며 이는 흡입면의 경계층으로 구성된다. Fig. 11, Fig 12는 각각 팁 누설 와류의 크기와 임펠러 압력면에서의 유선을 나타낸다. 압력면에서 형성된 경계층은 저에너지 유체로 팁 간극에서 발생하는 압력차이로 인해 흡입면 쪽으로 이동한다. 이동한 유체는 토네이도 와류 구조에 흡입되며 와류 크기가 증가하고 종방향 와류(H_n=-1)로 변이되며 하류로 이동한다. 하류로 이동함에 따라 압력면에서 발단한 경계층은 와류 구조에 흡입되지 않으며 와류의 크기는 점차 감소함을 확인할 수 있다.

Fig. 9 
Onset of vortex on suction surface of impeller

Fig. 10 
Vorticity of tip leakage vortex (Q = 7.5 m³/min)

Fig. 11 
Tip leakage vortex on suction surface of impeller (Q = 7.5 m³/min)

Fig. 12 
Streamline over impeller velocity (Q = 7.5 m³/min)

이전에 설명하였던 RPE를 통해 유량이 7.5 m³/min일 때 공동 현상을 해석하였다. 그 결과를 Fig. 13, Fig. 14에 도시하였고 각각 임펠러 흡입면에서의 증기 부피분율과 증기 부피분율이 0.5 이상인 영역의 단면을 표현하였다. 임펠러의 슈라우드 부근으로 갈수록 팁 속도가 빨라져 압력은 점차 감소하는 양상을 띠어야 한다. 그러나 임펠러의 슈라우드 부근에서 오히려 공동 현상이 발생하지 않음을 Fig 14를 통해 확인했다. 이는 정규화된 나선도 값이 0인 와류에 의한 감속 효과가 더 크기 때문에 팁에서의 공동 현상을 억제하는 결과를 보여준다. Fig. 15는 와류 구조와 증기 부피분율이 0.9 이상인 영역의 위치와 압력의 차이를 도시했다. 이를 통해 와류의 중심의 압력이 다른 위치보다 상대적으로 낮지만 공동현상이 발생하는 위치의 압력이 더 낮음을 확인했다. Table 2는 각 축에 따른 편차이다.

Fig. 13 
Vapor.volume fraction on zx plane (Q = 7.5 m³/min)

Fig. 14 
Iso-surface of vapor. volume fractoin (Q = 7.5 m³/min)

Fig. 15 
Comparison between vortex structure and cavitation behavior (Q = 7.5 m³/min and Vapor.volume Fraction > 0.9)