Introduction

Fig. 1은 참고문헌⁽¹⁰⁾에서 제시한 피봇의 변형을 고려한 TPJB의 모델을 보여준다. X, Y는 각각 수평과 수직방향 직교 좌표계이다. 피봇은 하중의 증가에 따라 변위가 비선형적으로 변하는 탄성 스프링으로 모델링되며,⁽¹⁰⁾ 피봇의 변형을 고려한 윤활유막 두께는 식 (1)과 같다. 패드의 틸팅 시에 볼과 패드의 접촉점이 미세하게 변화하지만 그 영향이 매우 미미하여 무시한다.

Fig. 1. 
Schematic view of TPJB with pad rotation and pivot deflection⁽¹⁰⁾

여기서 δ, ζ, Rp, Rb, RJ, tp, e, h, θc, θp, θ는 각각 패드 틸팅 각도, 피봇 반경방향 변위, 패드의 곡률 반경, 베어링 반경, 저널 반경, 패드 두께, 저널 편심량, 윤활유막 두께, 저널 자세각, 원주 좌표계 기준으로부터 피봇까지의 각도, 그리고 윤활두께 해석 각도를 나타낸다.

TPJB의 패드 압력분포 해석을 위하여 등온상태의 비압축성 유체의 레이놀즈 방정식, 식 (2)를 사용하였다. 여기서, p, t, ρ, μ, Ω 는 각각 압력, 시간, 유체의 밀도, 유체의 점도, 그리고 회전각속도이다. x, z는 각각 원주방향 및 축방향 좌표계를 나타낸다.

패드 원주방향 및 축방향 양 끝단에서의 압력은 주변압력(p₀)과 같다고 가정하였으며, 패드의 압력분포를 해석하기 위해서 유한요소법^(10,13)을 사용하였다. 패드는 유체동압의 발생으로 인해 모멘트 평형이 이루어지도록 피봇을 기준으로 틸팅하게 된다. 패드의 모멘트 평형, 패드의 피봇 변형에 대한 힘 평형, 베어링의 수직, 수평방향의 힘 평형의 동시해를 계산하기 위해 Newton-Raphson 수치해석 기법을 이용하고, 이를 통해 패드 회전각도(δ), 피봇변형량(ζ), 저널 편심량(e)을 계산하였다. 베어링의 직교강성 및 직교감쇠 계수는 정적 평형 상태의 저널 중심에서 수평(X) 및 수직(Y) 방향으로 변위 및 속도의 미소 증분에 따른 수평, 수직 반력으로부터 계산되어진다. 일반적으로 TPJB은 연성 강성 및 연성감쇠 계수가 나타나지 않는다.

Fig. 2는 볼 소켓형 피봇으로 지지되는 패드를 갖는 TPJB의 개략도를 보여준다.

Fig. 2 
Schematic view of ball-socket pivot

Fig. 3은 Hertzian contact stress 이론⁽¹²⁾을 적용하기 위한 볼 소켓형 피봇 모델을 보여준다. 패드의 반구형 소켓이 볼 모양의 피봇을 감싸는 형태로 패드와 피봇은 점 접촉을 한다. 참고문헌^(10,12)로부터 인용한 식 (3)에서 보는 바와 같이 피봇의 강성 설계인자는 볼 및 소켓 재료의 탄성계수(E_p, E_h), 포아송비(ν_p, ν_p), 그리고 볼의 반경(R_p=D_p/2), 소켓의 반경(R_h=D_h/2)이다. 또한, 피봇에 가해지는 하중에 따라 강성이 비선형적으로 증가한다.

Fig. 3 
Ball-socket (spherical) pivot model⁽¹⁰⁾

Fig. 4는 참고문헌⁽¹⁰⁾으로부터 인용하였다. Fig. 4(a)는 볼과 소켓의 직경 차이에 따른 강성의 계산 결과로, 일반적으로 직경 차이가 증가할수록 피봇의 강성은 비선형적으로 감소한다. 또한, 피봇의 직경이 커질수록 강성이 증가함을 보여준다. Fig. 4(b)는 하중에 따른 피봇 강성 계산 결과로 하중이 증가할수록 강성이 비선형적으로 증가함을 보여준다.

Fig. 4 
(a) Pivot stiffness vs. differential diameter and (b) pivot stiffness vs. static load for increasing ball diameters⁽¹⁰⁾

Table 1은 해석을 위해 사용한 TPJB의 설계값과 구동조건들을 참고문헌⁽⁶⁾에서 인용하여 보여준다. 패드의 개수는 4개이며 작용하중은 패드와 패드 사이(LBP형)로 가해진다.

Fig. 5는 식 (3) 및 Table 1의 볼과 소켓 치수와 재질정보를 활용하여 해석한 실험 베어링 피봇강성(orignal model)과 Childs와 Harris⁽⁶⁾의 실험 측정치를 이용하여 보정된 수정 피봇 강성(present model)을 보여준다. 현재의 피봇 강성 모델은 피봇의 주재료인 AISI　4140 steel 탄성계수의 30% 값을 적용하여 저하중을 제외한 구간에서 피봇 강성 계산값이 측정값과 유사하도록 보정한 것이다. 피봇강성 해석값과 측정값의 차이는 볼 피봇과 베어링 하우징 사이에 삽입된 AISI 12L14 재질의 심(shim)에 의한 피봇 강성 감소 효과로 사료된다. 실험 베어링은 Table 3에서 보여주듯이 수평(X), 수직(Y) 방향에서 측정된 클리어런스 (C_b) 크기가 다르며, 각각의 패드에서 측정된 예압 조건 또한 동일하지 않지만, 본 논문에서는 수직 및 수평방향의 평균 클리어런스와 하중방향의 예압 조건을 사용하여 해석을 수행하였다.

Fig. 5 
Pivot vertical stiffness vs. static load

Fig. 6은 회전속도 6000 rpm에서 단위 하중(unit load or specific load)이 1896 kPa 까지 증가됨에 따른 저널 중심의 궤적 변화를 보여준다. 실선의 곡선은 참고문헌 6에서 측정한 베어링 클리어런스(Bearing clearance)를, 점선의 곡선은 해석에 사용된 베어링 평균 클리어런스(Avg. clearance)를 보여준다. 실험결과는 하중이 증가함에 따라 저널 중심이 하중 방향으로 최대 약 90 μm까지 편심되며 약간 오른쪽으로 치우침을 보인다. 해석 결과는 저널 중심의 편심량이 실험결과와 거의 일치하지만 편심의 방향이 하중방향과 일치하여 약간의 차이를 보인다. 이는 실험에 사용된 베어링은 비대칭 형태의 베어링 클리어런스를 갖는 반면 해석 모델은 대칭의 클리어런스를 갖기 때문이다. 참고문헌⁽⁶⁾의 해석 모델은 피봇의 변형을 고려하지 않기 때문에 최대 약 20 μm의 저널 중심의 편심량을 예측하여 실험결과와 매우 큰 차이를 보인다.

Fig. 6 
Journal center trajectory for increasing unit load to 1896 kPa at rotor speed of 6000 rpm

Fig. 7은 회전속도 4000 rpm에서 1034 kPa의 단위하중이 작용할 때의 TPJB 패드의 압력분포 및 유막 두께분포 해석 결과를 보여준다. 이웃한 두 패드 사이에 하중이 작용하는 LBP 하중 조건에서 하중 작용 방향(270도)인 베어링 하부에 위치한 두 개의 패드(Pad 3, Pad 4)에서 최대의 압력을 보이며 유막두께는 최소가 됨을 보여준다. 하중의 반대 방향인 베어링 상부에 위치한 패드(Pad 1, Pad 2)들도 상당한 크기의 유체동압이 형성되는데 이는 패드에 형성된 예압에 의한 영향이다.

Fig. 7 
Predicted pressure (upper) and film thickness (lower) profiles along angular location for unit load of 1034 kPa at 4000 rpm. LBP configuration

Fig. 8과 9는 단위 하중이 0 kPa, 689 kPa, 1379 kPa 일 때 회전속도에 따라 해석한 강성 및 감쇠 계수(K_i,j=X,Y, C_i,j=X,Y-Prediction)를 보여준다. 해석결과를 참고문헌⁽⁹⁾의 실험 결과(K_i,j=X,Y, C_i,j=X,Y-Test data) 및 해석 결과(K_ii, C_ii-Prediction; K_ii-mod, C_ii-mod-Prediction)와 비교하여 나타내었다. 여기서, K_ii, C_ii-Prediction은 피봇의 변형을 고려하지 않은 해석 결과이고 K_ii-mod, C_ii-mod- Prediction은 피봇 및 오일 유막의 직렬스프링 모델(1/K=1/K_p+1/K_o, K_p : 피봇 강성, K_o : 유막 강성, K : 베어링 강성)을 이용하여 수정된 결과이다. 일반적으로 강성계수는 단위하중이 증가할수록, 회전속도가 증가할수록 증가하는 경향을 갖는다. 피봇 강성을 고려하지 않은 해석의 경우 실험 결과와 큰 차이를 보이나 측정된 피봇 강성을 활용하여 수정된 해석 결과와 현재의 피봇 모델을 적용한 해석 결과는 실험결과를 잘 예측한다. 실험 결과는 KXX 와 KYY 값이 서로 약간의 차이를 보이는 반면 해석 결과는 두 값이 거의 동일하다. 이는 실험 베어링은 수직, 수평 방향 클리어런스가 다른 반면 해석모델은 평균 클리어런스를 사용했기 때문으로 사료된다.

Fig. 8 
Bearing stiffness vs. rotor speed for unit loads of 0 kPa, 689 kPa, and 1379 kPa. LBP configuration. Comparison to data from Ref.⁽⁶⁾

Fig. 9 
Bearing damping vs. rotor speed for unit loads of 0 kPa, 689 kPa, and 1379 kPa. LBP configuration. Comparison to data from Ref.⁽⁶⁾

Fig. 9에서 일반적으로 감쇠계수는 단위하중이 증가할수록 증가하고, 회전속도가 증가할수록 감소하는 경향을 갖는다. 피봇 강성을 고려하지 않은 해석의 경우 실험 결과와 큰 차이를 보이는 반면 측정된 피봇 강성을 활용하여 수정된 해석 결과는 실험결과를 잘 예측한다. 현재의 피봇 모델을 적용한 해석은 실험 결과를 약간 높게 예측하지만 대체적으로 경향성이 일치한다.