Introduction

일반적으로 산업에서 기계시스템의 설계는 설계의 기준이 되는 초기사양 모델이 있고, 그 초기사양을 개선하는 개선설계로 수행된다. Fig. 1은 본 연구에서 설계의 기준이 되는 2.2 kW급 유도전동기 초기사양 축계 도면을 보여주며, 본 사양은 국내 연구소 및 기업에서 해외 선진사 제품의 벤치마킹을 통해 설계한 사양이다.

Fig. 1 
3D and 2D drawings of the rotor-bearing system for the initial design induction motor

샤프트의 총 길이는 360 mm이며 회전자 코어(rotor core)의 총 길이는 120 mm, 두 베어링간 거리는 253 mm이다. 또한 회전자 코어의 직경은 109 mm이다. 부하단(drive end, DE)과 무부하단(non-drive end, NDE)에 위치한 두 베어링의 타입은 깊은 홈 볼 베어링(deep groove ball bearing, 6206 series) 6206 계열이다. 축계에 대한 자세한 설계값은 Table 1에 나열하였다. Table 2는 초기사양 유도전동기의 전기적 특성을 보여주며, 전동기의 정격 용량은 2.2 kW이고 슬립(slip)이 없을 때 동기속도는 60 Hz 입력하에 1,800 rpm이다.

본 전동기의 실제 운용은 부하단에 부하가 연결되어 작동하게 된다. 부하는 사용자의 요구나 목적에 따라 벨트-풀리(belt-pulley)나 커플링(coupling)으로 전동기 부하단에 연결되며, 특수한 경우를 제외하고 전동기 축계 진동설계 시 부하를 고려하지 않은 상태인 무부하 조건에서 해석 및 설계가 수행된다.

초기사양에 대한 회전체 동역학 해석모델은 2차원 유한요소해석 프로그램 XLRotor⁽⁹⁾을 이용하여 Fig. 2와 같이 수립하였다. 샤프트, 회전자코어, 단락환(end ring)은 빔요소(beam element)로 모델링하였으며, 냉각팬은 등가의 질량요소로 모델링 되었다. 이 때 질량요소의 질량과 관성은 0.07 kg, 95.36 kg-mm²(polar), 52.21kg-mm²(transverse)이다. 사용된 빔요소의 밀도와 탄성영역 물성치는 그림내의 표로 나타내었다.

Fig. 2 
2D finite element rotordynamic prediction model of the rotor-bearing system for the initial design induction motor. The insert table indicates used material properties for the model

두 베어링은 각각 선형 스프링 요소(spring element)로 모델링 하였으며, 이 때 각 스프링의 강성은 Hertz⁽¹⁰⁾의 접촉 이론(contact theory)에 기반하여 계산되며, 계산에는 베어링의 볼(ball)과 궤도륜(raceway)에 대한 형상 및 재료 물성치, 그리고 베어링이 지지하는 정하중이 고려된다. 베어링 강성은 참고문헌 ⁽⁸⁾에서 개발된 해석 코드를 이용하여 k_DE = 120×10⁶ N/m(부하단 베어링), k_NDE = 117×10⁶ N/m(무부하단 베어링)로 계산되었다.

축계의 불평형응답을 예측하기 위해서 축계의 주요 가진원에 해당하는 불평형량(U_per)의 선정이 필요하다. 불평형량은 회전기기의 허용 불평형(e_per)을 규정하는 ISO 1940-1규정⁽¹¹⁾에 기반하여 발란싱 등급(balancing quality grade)을 G6.3으로 선정하였으며, 이 때 허용 불평형 e_per=G×10³/Ω 을 만족한다. 참고로 G6.3은 본 전동기의 양산 공정에서 적용되는 발란싱 등급이다. 여기서 G는 발란싱 등급, Ω는 회전속도를 나타낸다. 축계 불평형량은 다음 식으로 표현된다.

여기서 m은 베어링을 제외한 축계의 질량을 의미한다. 회전속도 1,800 rpm에서 허용 불평형은 33.42 g-mm/kg으로 계산되며, 축계 불평형량은 식 (1)을 통해 U_per = 346.92 g-mm으로 도출된다. 본 연구에서는 안전계수 5을 적용하여 5U_per에 해당하는 값을 각각 단락환 양 끝에 배치하였다. 실제 단락환의 양 끝면은 제조공정상에서 발란싱 면으로 이용된다.

Fig. 3은 초기사양 유도전동기 축계의 (a) 회전속도에 대한 고유진동수 변화와 (b) 정격속도 1,800 rpm에서 축계의 변형형상(operating-deflected shape)을 보여준다. 1,500 Hz 이내에서 4개의 고유진동수가 확인되며, 그 중 2개는 전방휘둘림(forward whirl, FW), 나머지 2개는 후방휘둘림(backward whirl, BW)에 해당한다. 회전속도 증가에 따라 축계의 자이로스코프 효과(gyroscopic effect)로 인해 FW는 증가하고, BW는 감소한다. 또한, 1차 위험속도는 약 27,500 rpm에서 형성되며, 본 전동기의 정격운전속도와 상당히 떨어져 있어 설계 시 위험속도의 변화는 주요하게 관찰하지 않아도 된다는 것을 알 수 있다.

Fig. 3 
Predicted (a) damped natural frequency map and (b) operating-deflected shape at rotor speed of 1,800 rpm for the initial design induction motor

Fig. 3(b)를 보면 축계는 정격운전속도에서 1차 굽힘모드 형태로 변형하게 되며, 최대 진폭은 회전자의 중심에서 1.4 µm로 예측되었다. 이는 정격운전속도가 1차 위험속도(1차 굽힘모드)와 가장 가깝기 때문에, 축계의 변형형상에서 1차 굽힘모드 형태가 지배적인 것으로 판단된다. 따라서 회전자 중심에서 발생하는 최대 진폭을 줄이는 설계가 축계의 운전 중 발생하는 변형을 줄일 수 있음을 유추해볼 수 있다.

축계의 회전체 동역학 관점에서 주요한 성능인자는 Fig. 3에서 주요하게 관찰하였던 축계의 진동과 더불어 베어링의 수명을 말할 수 있다. 일반적으로 베어링의 수명은 유도전동기의 관리점검 주기를 결정하며, 이는 전동기 운용비용에 직결된다. 베어링의 수명은 실제 운용 중 작동환경과 운전방식 등 많은 변수들에 의해 크게 영향을 받기 때문에 정확한 수명을 예측하기는 힘들다. 하지만 이러한 통제할 수 없는 변수들을 고려하지 않은 이상적인 베어링 수명의 계산법을 ISO 281 규정⁽¹²⁾에서 제시하고 있다.

95% 신뢰도 구간에서 볼 베어링 수명(basic rating life, L_5h)은 다음과 같이 표현된다.

여기서 C는 베어링 동하중용량(basic dynamic load capacity), P는 베어링 동하중(dynamic loading)을 나타내고 α₁은 신뢰도 계수로 95% 구간에서는 0.62의 값을 사용한다. 결국 베어링 수명은 작용하중 베어링 동하중의 세제곱에 반비례하고 베어링 동하중용량의 세제곱에 비례함을 알 수 있다.

축계에 총 i 개의 베어링이 있을 때 베어링의 수명을 각각 계산하고, 다음 수식을 통해서 대표적인 베어링 수명 값(L)을 계산할 수 있다.

여기서 e는 볼 베어링일 경우 10/9을, 롤러 베어링(roller bearing)일 경우 9/8을 사용한다.

Fig. 4는 회전속도 변화에 대해 예측한 부하단 및 무부하단 베어링 동하중과 베어링 수명을 나타낸다. 참고로 베어링 동하중은 등가의 스프링요소의 강성과 변위의 곱으로 계산이 가능하다. 회전속도 증가에 따라 두 베어링의 동하중은 비선형적으로 증가하며, 이는 축계의 불평형에 의한 가진력이 회전속도 제곱에 비례하기 때문이다. 이때 정격운전속도에서 수명은 1.11×10⁸ h로 예측되었으며, 이는 무한수명에 가까운 값이다.

Fig. 4 
Predicted bearing dynamic loading P of DE and NDE bearing, basic rating life L depending on rotor speeds for the initial design induction motor

해외의 특정 베어링 제조사에서 제공하는 베어링 수명 기준(13)에 따르면 베어링 작동 시간 및 환경에 따라 4×103 h–6×104 h 범위의 수명이 적절한 수준이다. 따라서 본 예측 결과가 수명을 과대예측한 것을 알 수 있는데, 이는 현재 해석대상이 무부하 조건의 축계이기 때문이다. 실제 운전시에는 부하가 부하단에 작용하는 상태에서 작동되기 때문에, 식 (2)에서 베어링 동하중 값이 크게 증가하게 되어 베어링 수명은 크게 감소할 것이다. 특히 현재 예측된 베어링 수명 값 자체는 과대예측 되어 물리적으로 의미가 없을 수 있지만, 베어링 수명 값의 변화는 중요한 의미를 가지게 되며 설계에 있어서 주요한 성능인자로 활용이 가능하다.

본 연구의 유도전동기 축계 설계 목표는 기존의 초기사양 대비하여 회전체 동역학적 관점에서 축계를 안정화하는 것이며, 축계 설계 변화에 따라 발생하는 유도전동기 고정자 및 케이싱의 설계 변경은 고려하지 않는다. 앞서 2절에서 분석했듯이 축계 진동설계의 목적함수는 유도전동기 축계의 주요한 성능인자인 정격운전속도에서 축계의 최대 진폭과 베어링 수명으로 선정하였다. 최대 진폭은 작을수록 좋은 망소특성을 가지며, 베어링 수명은 길수록 좋은 망대특성을 가진다. 이 때 초기사양 대비하여 목적함수의 변화를 쉽게 파악할 수 있도록 최대 진폭과 베어링 수명을 다음과 같이 진동계수(η_vib)와 수명계수(η_life)로 다음과 같이 정의하였다.

여기서 X_max,initial과 L_initial은 초기사양 전동기의 최대 진폭과 베어링 수명으로 각각 1.4 µm, 1.11×10⁸ h이다. 또한 X_max와 L는 설계변수의 값을 변경하며 계산하는 축계 최대 진폭과 베어링 수명에 해당한다.

다음으로 축계 진동설계의 설계변수를 선정하였다. 회전자는 전자기 해석을 통해서 전반적인 형상이 결정되며 샤프트의 부하단 치수는 사용목적에 맞게 치수가 선정된다. 또한 베어링 형번은 비슷한 용량의 전동기에서 문제없이 사용되고 있는 베어링으로 한정된다. 따라서 축계에서 진동 단독설계가 가능한 부분은 베어링의 위치, 회전자의 위치, 회전자가 결합되는 샤프트 영역의 직경으로 추릴 수 있으며, 그 세 가지 변수를 설계변수로 선정하였고 이를 Fig. 5에 시각적으로 나타내었다.

Fig. 5 
Design variables for design optimization of 2.2 kW-class induction motor

베어링 위치(x₁)는 냉각팬 및 회전자와의 간섭을 고려하여 값의 수준을 0, 13, 26 mm로 3수준으로 선정하였다. 즉, x₁이 증가하면 두 베어링은 회전자 방향으로 이동하며, 초기사양의 베어링 위치는 x₁ = 0 mm이다. 회전자 위치(x₂)도 베어링과의 간섭을 피하도록 값의 수준을 -12, 0, 12 mm로 정하였고, 초기사양의 회전자 위치는 x₂ = 0 mm으로 축계 전체의 질량중심에서 우측으로 치우쳐져 있다. 마지막으로 샤프트 직경(x₃)은 기본적으로 10% 변화를 값의 범위로 선정하였고, 이 때 직경이 30 mm 미만이 되면 샤프트 저널(journal)의 직경보다 작게 되어 베어링을 샤프트에 압입할 때 정확한 위치를 맞출 수 없다. 따라서 샤프트 직경의 수준은 30, 32, 35.2 mm이고 초기사양 x₃ = 32 mm이다.

최적설계를 수행하는데 있어서 최적의 설계변수의 값을 찾는 계산은 많은 계산과정을 요구하며, 모든 과정마다 유한요소 해석을 수행하게 되면 많은 계산 시간이 소요된다. 하지만 실험계획법에 기반하여 설계변수와 목적함수 사이의 근사모델을 이용하여 최적설계를 수행하면 그 시간을 크게 단축할 수 있기 때문에, 본 연구에서는 반응표면법(surface response method, RSM)을 이용하여 최적화를 수행하였다.

먼저, 반응표면법 중 알파값이 1인 면중심 중심합성계획법(face-centered central composite design, CCD)을 이용하여 3인자 3수준 실험설계를 Table 3과 같이 수행하였다. 총 15실험 케이스로 1–8번은 실험모형의 꼭지점에 해당하고 9번은 중심점, 10–15번은 면 중심에 해당한다. 설계변수들이 변화할 때 양 베어링에 작용하는 정하중도 변하게 되며, 따라서 베어링의 강성이 변하게 된다. 따라서 이 때 각 실험에서 베어링 정하중을 고려하여 계산한 베어링 강성을 Table 3에 나열하였고 계산에 사용한 베어링 정보는 참고문헌 ⁽⁸⁾을 참고하였다. 또한 각 실험에서 계산된 성능인자도 표에 제시되었으며, 13번 실험은 초기사양에 해당하여 진동계수와 수명계수가 1이다.

최적화에 앞서 MINITAB을 이용하여 설계변수의 변화에 따른 목적함수의 주효과도를 도출하였으며, 그 결과를 Fig. 6에 제시하였다. 주효과도의 기울기가 클 때 설계변수의 효과가 크다고 판단할 수 있다. 진동계수는 설계변수 중 베어링 위치에 가장 크게 영향을 받고 베어링 위치가 회전자 방향으로 이동할수록 진동계수가 작아진다. 이는 베어링 지지점이 서로 가까워질수록 축계가 1차 굽힘모드 형상으로 변형하기 힘들기 때문이다. 반면, 회전자 위치는 큰 영향이 없고, 샤프트 직경이 증가할수록 진동계수가 감소한다. 이는 샤프트 직경증가에 따라 축계의 강성 또한 증가하여 변형이 감소된 결과로 보인다.

Fig. 6 
Predicted main effects of (a) the vibration factor and (b) the life factor

수명계수의 경우 회전자 위치가 가장 큰 영향을 미치며, 이는 회전자가 축계의 전체 질량 중 대부분을 차지하기 때문이다. 회전자의 위치가 변화할 때 축계의 질량중심 또한 회전자 위치에 따라 이동하게 된다. 이는 두 베어링에 작용하는 정하중과 동하중을 변화시켜 결국 베어링 수명이 크게 영향을 받는다. 초기사양에서 축계 질량중심은 Fig. 5와 같이 부하단 베어링에 가깝다. 따라서 회전자를 무부하단 베어링방향으로 이동시켜 축계 질량중심과 양 베어링과 거리가 동일해질 때 각 베어링의 수명이 같아지고, 결국 종합적인 베어링 수명은 최대가 된다. 이는 식 (3)을 통해 계산되는 베어링 수명이 축계내의 모든 베어링 수명이 동일할 때 최대가 되기 때문이다. 이러한 베어링 수명의 경향은 축계 설계 시 베어링 위치의 가이드라인(guideline)으로도 활용이 가능하다.

다음으로 진동설계 최적화를 수행하기 위해서 목적함수와 설계변수 사이의 근사모델을 다중회귀모형(multiple regression model)을 이용하여 도출하였다. 회귀모형은 독립변수 k = 3인 2차 방정식이며, 다음과 같이 표현된다.

여기서 y는 목적함수, β는 회귀계수, x는 설계변수, ε는 회귀 오차항이다. 위 식을 전개하면 상수항(constant), 선형항(linear), 제곱항(square), 교차항(interaction), 오차항(error)으로 구분되며, 회귀를 통해 구한 회귀상수의 값과 P값을 Table 4에 나열하였다.

P값이 0.05 이하일 경우 해당되는 회귀계수가 목적함수에 유의미한 영향을 미친다고 판단하여 회귀모형에서 제외시킬 수 있다. 본 연구에서는 선형항은 모두 회귀모형에 포함하였으며, 이외의 항에서는 P값이 0.05 이하인 계수만 회귀모형에 포함시켰다. 그리고 회귀모형의 결정계수 R²이 두 목적함수에 대해서 99% 이상으로 도출되었으며, 이는 회귀모형이 성능인자와 설계변수 사이의 관계를 타당하게 설명하고 있음을 알 수 있다.

진동계수와 수명계수를 목적함수로 두고 설계변수에 대해서 RSM을 이용하여 최적화를 수행하였다. 이 때 설계변수 사이의 가중치는 고려하지 않았고, 진동계수는 최소화, 수명계수는 최대화하는 방향으로 최적화를 진행하였다. 이는 고내구 저진동 축계 설계의 방향에 해당한다.

Fig. 7은 RSM을 이용한 최적화 결과이다. 설계의 종합 만족도(composite desirability)는 0.94로 가장 좋은 설계인 만족도 1.0에 가까운 설계가 되었음을 알 수 있다. 최적사양은 베어링 위치가 26 mm, 회전자 위치는 3.3 mm, 샤프트 직경은 35.2 mm이며 이 때 진동계수는 0.5585이고 수명계수는 1.0으로 유지된다. 즉, 초기사양 전동기와 비교하였을 때 두 베어링은 회전자 방향으로 26 mm씩 이동하여 샤프트를 좁게 지지하고, 회전자 위치를 냉각팬 방향으로 3.3 mm이동하고 샤프트 직경을 3.2 mm 증가시킨 결과이다. 이러한 설계 결과를 물리적으로 분석해보면, 베어링 위치의 이동은 두 베어링 지지점을 가깝게 만들어 굽힘모드 형태의 축계 변형을 줄인다. 또한 회전자의 이동은 축계 무게중심과 두 베어링 사이의 동일하게 만들어, 베어링 수명 측면에서 유리하다. 마지막으로 샤프트 직경의 증가는 축계의 강성을 증가시켜 축계의 진폭을 감소시킨다.

Fig. 7 
Optimization result of design variables via RSM

RSM을 이용한 최적화 결과를 검증하기 위해서 RSM을 통해 도출한 최적 설계변수 값을 적용하여 회전체 동역학 해석을 수행하였다. Fig. 8 (a)는 정격속도 1,800 rpm에서 예측된 축계의 변형형상을 보여주며, (b)는 회전속도에 따라 두 베어링의 동하중과 베어링 수명을 나타낸다. 최적사양을 보면 초기사양 대비하여 축계의 굽힘모드 형태의 진동이 크게 감소된 것을 알 수 있다. 이 때 최대 진폭은 1.4 µm에서 0.78 µm로 약 45% 감소하였으며, 진동계수로 계산하면 0.5588의 값을 가진다. 최적사양에서 두 베어링의 동하중은 동일한 크기를 가지며, 이는 앞서 언급한 것처럼 축계 무게중심과 두 베어링간 거리가 동일하기 때문이다. 정격속도에서 1.14×10⁸ h의 베어링 수명을 가지며, 이를 수명계수로 환산하면 1.027에 해당한다.

Fig. 8 
Comparison of operating-deflected shapes at rotor speed of 1,800 rpm for initial and optimized design, (b) predicted bearing dynamic loading and basic rating life for optimized design.

결론적으로 RSM의 결과와 회전체 동역학 해석결과를 비교하면 RSM을 이용한 최적화에서 성능인자 예측 오차는 진동계수에 대해서 -0.05%, 베어링 수명에 대해서 0.08%이다. 이는 실제 전동기 축계의 설계과정에서 Fig. 8과 같은 RSM 최적화 결과의 검토과정을 생략할 수 있어 설계 과정을 단축할 수 있다는 것을 의미한다. 하지만 본 연구의 대상과 같은 형태인 단축 양단 베어링지지 전동기 설계에만 유효한 것임을 유의해야 한다.

Fig. 9는 초기사양과 최적사양의 회전속도에 따른 1차 전방휘둘림 고유진동수의 변화를 보여준다. 최적사양 축계 1차 위험속도는 36,200 rpm으로 초기사양 위험속도 27,500 rpm에서 크게 증가하였다. 이러한 결과는 설계변수 중 주로 베어링 위치와 샤프트 직경의 변화에 기인된 결과로 보인다. 정격운전속도와 1차 위험속도가 멀어질수록 정격속도에서 축계 진폭이 감소된다. 따라서 정격운전속도가 1차 위험속도 이전에 있을 경우 베어링 위치와 샤프트 직경의 변화로 축계 강성을 증가시킬 수 있고, 이를 통해 축계 진동측면에서 성능향상을 달성할 수 있음을 알 수 있다.

Fig. 9 
Predicted damped natural frequency map for 1^st forward whirls of initial and optimized design induction motors