Introduction

본 상수도관 마이크로 소수력발전용 터빈은 급수관 설치를 목표로 하므로 상수도 설계기준에 따라 파이프의 직경은 50 mm로 설정하였다⁽¹⁰⁾. 수치해석을 위해 사용한 모델 형상은 고대 중동 지역에서 사용한 하사식 물레방아 수차 형상에 착안하였으며⁽¹¹⁾, Fig. 1에 도시하였다. 설계변수 및 고정변수는 Table 1에 기술하였다.

Fig. 1 
Schematic of turbine model with undershot waterwheel shape

수치해석을 위한 격자계는 ANSYS Mesh를 이용하여 생성하였다. 입출구 부분은 정렬격자, 노즐부분과 러너부분은 비정렬격자를 이용해 생성하였다. 또한, 블레이드 등 벽면에서의 전단응력을 고려하기 위하여 y⁺는 2 이하로 제한하였다.

격자 크기에 따른 수치해석 결과의 영향성 최소화 및 경제성을 위해 격자 의존성 시험을 수행하였다. Figure 1에 제시된 모델에 대하여 격자생성에 있어 기준 크기를 변화시키며 수치해석을 수행하였으며, 터빈 성능 평가 지표로 출력을 선정하였기 때문에 격자 개수에 따른 출력 변화를 확인하였다. 격자 의존성 시험 결과는 Fig. 2에 도시하였으며, 약 1,500만 개부터 출력의 변화가 크지 않음을 확인할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 약 1,500만 개의 격자 개수에 해당하는 기준 크기로 격자계를 구성하여 수치해석을 수행하였다.

Fig. 2 
Results of grid dependency test of reference model

수치해석을 위해 상용코드인 ANSYS CFX를 사용하였으며, 회전기계의 유동해석에 많이 적용되는 MRF(Moving Reference Frame) 기법을 이용하여 터빈의 회전운동을 모사하였다⁽¹²⁾. 이 때, 회전영역과 비회전영역 사이의 경계면조건은 프로즌로터(frozen rotor)로 설정하였다. 난류 모델은 블레이드에서의 유동 박리 현상 등을 잘 모사하는 것으로 알려진 SST(Shear Stress Transport) 모델을 사용하였다. 15 m에 해당하는 저낙차 조건을 부여하기 위해 입구는 대기압보다 1.5 atm 높은 전압으로, 출구는 대기압과 같은 정압으로 설정하였다. 경계조건은 Table 2에 기술하였다.

실험계획법(design of experiments, DOE)은 효율적인 실험을 위해 실험조건을 조직적으로 배치한 후 통계이론을 사용하여 논리적으로 결과를 분석하는 방법이다. 적은 횟수의 실험 양으로도 결과를 분석할 수 있다는 장점 덕분에 최적설계를 위해 사용되기도 한다.

본 연구에서는 터빈 및 블레이드 형상 최적설계를 위해 실험계획법을 사용하였다. 컴퓨터를 이용하는 전산실험은 물리적인 실험과 달리 임의의 오차가 존재하지 않기 때문에 실험영역을 고르고 빈틈없이 채울 수 있는 실험조건 배치 방법이 적합하다⁽¹³⁾. 라틴 하이퍼큐브 샘플링(Latin hypercube sampling, LHS)은 전체 표본 공간을 동일한 확률 변수를 가지는 영역 N개로 나눈 후 각각의 영역에서 확률 변수를 하나씩 추출하는 방식으로, 실험영역을 빈틈없이 채울 수 있는 샘플링 기법이다⁽¹⁴⁾. 본 연구에서는 LHS 기법을 이용하여 최적화를 위한 설계변수 샘플링을 수행하였다. 경제성을 고려하여 전통적인 실험계획법 중 하나인 중심합성법(central composite design, CCD)과 같은 비용으로 수치해석을 수행하기 위해 샘플 개수가 같도록 샘플링을 진행하였으며, 샘플의 개수는 식 (1)과 같다.

여기서 y는 샘플의 총 개수, N은 설계변수의 개수를 의미하며, f는 팩토리얼 수로 설계변수의 개수에 따라 값이 정해진다. 본 연구에서 사용하는 설계변수의 개수는 터빈 형상과 블레이드 형상 최적화에서 각각 5개, 3개이며 이에 따른 팩토리얼 수는 각각 1, 0이다.

실험계획법을 통해 얻은 데이터는 크리깅(Kriging) 기법을 통해 분석하였다. 크리깅 기법은 보간법을 기반으로 하는 근사 모델링으로, 얻어낸 데이터에 의존성을 가지며 비선형성에 강한 특징을 가진다. 또한, 민감도 정보없이 적은 양의 데이터만으로도 근사 모델링을 만들 수 있다는 장점을 가진다⁽¹⁵⁾. 크리깅 모델은 식 (2)를 이용하여 근사 모델링을 생성한다.

여기서 y(x)는 근사 모델링 함수, f(x)는 실험계획법을 통해 추출한 전역의 설계공간 함수, Z(x)는 전역 설계공간 함수로부터 정규분포 가우시안 랜덤 프로세스(Gaussian random process)를 통해 얻어낸 편차를 나타낸다.

유전 알고리즘(genetic algorithm, GA)은 1975년 Holland ⁽¹⁶⁾에 의해 고안된 최적화 기법으로, 자연 유전 원리를 기초로 한다. 재생(reproduction), 교배(cross-over), 돌연변이(mutation) 연산자를 이용하여 다음 세대의 개체군을 형성하면서 목적 함수가 적합도를 만족할 때까지 연산을 반복하는 방식이다. 이는 간단한 원리를 가지며 최적해 도출에 용이하여 다양한 분야에서 최적설계를 위해 널리 사용된다. 본 연구에서는 크리깅 기법을 통해 생성한 반응표면을 기반으로 유전 알고리즘을 이용해 가장 높은 출력을 갖는 최적 설계점을 도출하였다.

터빈 형상 설계를 위한 설계변수는 Table 1에 기술한 바와 같이 블레이드 직경(blade diameter), 블레이드 길이 (blade length), 끝 틈새(tip clearance), 러너 너비(runner width), 노즐 길이(nozzle length)이다. 5가지 설계변수들에 대한 범위는 제작 가능성을 고려하여 각각 블레이드 직경 90∼150 mm, 블레이드 길이 10∼30 mm, 끝 틈새 1∼9 mm, 러너 너비 52∼80 mm, 노즐 길이 150∼300 mm로 설정하였다. 최적설계를 위한 샘플은 LHS 기법을 이용하여 생성하였으며 Table 3에 기술하였다.

생성된 샘플의 수치해석 결과를 바탕으로 한 크리깅 기법 결과는 Fig. 3에 도시하였다. 유전 알고리즘을 통해 도출한 최대출력을 갖는 터빈 형상의 최적점은 블레이드 직경 111.16 mm, 블레이드 길이 10.14 mm, 끝 틈새 5.81 mm, 러너 너비 79.96 mm, 노즐 길이 298.62 mm이다. 도출된 최적점에 대한 검증을 위해 최적점으로 산출된 설계변수에 대해 수치해석을 수행하였으며 예상값과 수치해석 결과를 Table 4에 나타내었다. 출력에 대한 오차율은 3.90%로 도출된 설계점을 신뢰할 수 있다고 판단하였다. 이 때, 출력 44.18 W, 유량 199.38 L/min, 효율 8.83%를 갖는다.

Fig. 3 
Results of Kriging method for turbine shape optimization

터빈 형상 최적설계를 위한 설계변수 중 출력에 가장 민감도가 높은 설계변수는 끝 틈새이다. 설정한 설계변수 범위에 대하여 최고 출력값을 갖는 끝 틈새는 최적점이 존재하는 것으로 추정되며 이보다 작거나 큰 경우 출력이 감소하는 경향을 보인다. 이는 경계조건으로 일정한 낙차 조건을 부여하였기 때문에 끝 틈새가 작은 경우 유량이 감소하여 출력이 낮아지며, 큰 경우 끝 틈새로 많은 유동이 흐르게 되어 출력이 낮아지는 것으로 추정된다. 블레이드 직경 또한 설정한 설계변수 범위 내에 최적점이 존재함을 알 수 있다. 이는 직경이 작은 경우 반지름이 작아져 토크가 감소하며, 직경이 큰 경우 블레이드 개수를 18개로 고정시켰기 때문에 블레이드 사이 간격이 넓어져 생기는 결과로 고찰된다. 블레이드 길이의 경우 짧아질수록 높은 출력을 보이는 경향이 있는데, 이는 블레이드 길이가 길어지면 블레이드 표면의 마찰 면적이 증가하여 블레이드와 블레이드 사이 공간에서 강한 와류가 생성돼 토크를 감소시켜 출력이 감소된다고 추정된다. 또한, 러너 너비가 증가할수록 출력이 증가하는 경향을 보이며, 이는 러너 너비 증가로 인해 유량이 증가하여 동일한 단면적의 배관에 대하여 유속이 증가함에 따른 결과라고 고찰된다. 노즐 길이도 증가할수록 출력이 증가하는 경향을 보이는데, 이는 노즐 길이가 증가할수록 노즐 출구에서의 유동 방향이 수직선과 일치하는 경향을 보여 끝 틈새 쪽으로 새어나가지 않고 블레이드 면으로 흘러 토크를 증가시키기 때문이다.

최적화된 터빈 형상을 기본형상으로 하여 블레이드 형상 최적설계를 수행하였다. 블레이드는 2 mm의 균일한 두께를 유지하였고 형상은 NACA 익형 모델의 캠버라인(camber line)을 참고하였으며 식 (3)과 같다.

여기서 m_b는 캠버의 길이, c_b는 시위의 길이, l_b는 시위선에서 블레이드의 허브로부터 캠버에서의 수직선까지의 거리, p_b는 l_b와 c_b의 비, θ_b는 시위와 수평선의 각도를 나타낸다(Fig. 4 참조). 최적설계를 위해 사용한 설계변수는 m_b, p_b, θ_b이며 3가지 설계변수에 대해 LHS 기법을 이용하여 생성된 샘플은 Table 5에 기술하였다. 생성된 샘플의 수치해석 결과를 바탕으로 크리깅 기법을 수행한 결과는 Fig. 5에 도시하였다. 이를 바탕으로 유전 알고리즘을 통해 도출한 최대출력을 갖는 블레이드의 형상은 m_b, p_b, θ_b 값이 각각 2.99 mm, 0.68, 29.99˚이다. 도출된 최적점에 대한 검증을 위해 산출된 최적점에 대해 수치해석을 수행하였으며, 출력에 대한 예상값과 수치해석 결과값을 Table 6에 기술하였다. 이에 대한 오차율은 1.51%로 도출된 설계점은 높은 신뢰도를 가진다고 판단하였다. 이 때 출력 94.94 W, 유량 193.40 L/min, 효율 19.58%를 갖는다.

Fig. 4 
Variables of the blade for blade shape optimization

Fig. 5 
Results of Kriging method for blade shape optimization

블레이드 형상 최적설계를 위한 설계변수 중 출력에 가장 민감도가 높은 설계변수는 θ_b이다. 이를 고찰하기 위해 최적화된 터빈 형상에 대하여 블레이드 형상 최적설계 전후 수치해석 결과를 Figs. 6∼8에 도시하였다. Figure 6을 살펴보면 노즐을 통해 가속된 유동이 블레이드 최적설계 전 형상에서는 한 개의 블레이드 면으로만 흐르지만, 블레이드 최적설계 후 형상에서는 두 개의 블레이드 면으로 흐르는 것을 알 수 있다. 이로 인해 Figs. 7과 8에서 확인할 수 있듯이 고압의 압력면을 가지는 블레이드가 최적설계 후 두 개로 증가해 토크량이 증가하였다고 유추할 수 있다. 설계변수 중 m_b 값은 커질수록 출력이 증가하는 경향이 있는데 이는 블레이드 면이 와류의 영향으로부터 자유로워진 결과라고 고찰된다.

Fig. 6 
Comparatison of velocity vector distribution between reference and optimized model

Fig. 7 
Comparatison of pressure contour between reference and optimized model

Fig. 8 
Comparison of pressure contour and torque values of blades at nozzle outlet between reference and optimized model