Introduction

해석모델은 상부 및 하부에 단열 표면을 갖는 밀폐된 직방형 공동으로 설정하였다. 좌측 및 우측면 수직 벽은 저온(T_C)의 등온 표면이며, 고온(T_H)의 등온 표면을 갖는 정방형 열원이 중심부에 위치한다. 불균일 자기장을 형성하는 2개의 영구자석이 직방형 공동 측면벽 외부에 각각 한 개씩 위치한다. 영구자석 높이와 중력의 작용 방향, 해석모델에 대한 정보는 Fig. 1에 도시하였다. 해석모델과 유체 물성에 기반한 Grashof 수는 7.17*10⁷이며 Prandtl 수는 70.4이다.

Fig. 1 
Schematic of rectangular cavity model

2.1.1 유효성 검증 및 격자계 구성

수치 모델 유효성 검증을 위해, 본 논문에 적용한 방법을 이용하여 열원이 존재하는 정방형 공동 내 Fe₃O₄-water 나노유체의 자연대류를 수치적으로 연구한 Chinnasamy 등⁽⁹⁾의 결과를 비교 분석하였다. 일정한 Rayleigh 수에 대해서 공동 내 열원의 종횡비 및 Fe₃O₄ 나노입자의 체적분율을 달리하고 열전달 변화를 분석한 연구이다. 본 연구의 해석모델이 참고 논문과 유사한 열전달 양상을 보이는 것을 확인하였으며 Fig. 2에 등온선 결과, Table 1에 물성을 기술하였다.

Fig. 2 
Comparison of isotherms of (a) Chinnasamy et al.⁹ with (b) present study at a fixed Rayleigh number(Ra=10⁷) and various nanoparticle volume fraction ϕ

Table 1 
Physical properties of the validation study

Physical properties	Water	Fe3O4
Density [kg/m3]	997.1	5200
Heat capacity [J/kg⋅K]	4179	670
Thermal conductivity [W/m⋅K]	0.613	6
Thermal expansion coefficient [1/K]	20.7*10-5	1.18*10-5
Dynamic viscosity [Pa⋅s]	0.001003	-

해석모델의 격자계는 비정렬 삼각형 격자로 구성하였다. 격자 의존성 파악을 위해 기준 모델과 magnet case 1의 격자 크기를 감소시키며 10800 sec 동안의 과도해석(transient anlaysis)을 수행하였다. 열원 4개 표면 평균 Nusselt 수의 time-averaged 값을 기준으로 격자 의존성 분석을 수행하였으며 결과는 Fig. 3에 도시하였다. 해석 결과, 수렴 또는 주기적 수렴 구간으로 판단되는 9800 sec 이후에 열원 표면 평균 Nusselt 수의 time-averaged 값이 격자 개수 21만개부터 상대오차 약 1 % 이내로 계산되어 본 해석의 격자계로 설정하였다.

Fig. 3 
Results of grid dependency test of reference model and magnet case 1

a) 유동 지배 방정식:

b) 자기장 방정식:

유체 영역의 지배방정식은 비압축성 연속방정식, 운동량 방정식, 에너지 방정식이며 유한요소법 기반 수치해석 툴인 COMSOL Multiphysics를 이용하여 해석을 수행하였는데, 이때 점성 소산항은 무시하였다. 층류유동 및 열전달에 대해 fully-coupled 방식, direct PARADISO solver를 이용해 계산을 수행하였다. 과도해석 수렴 기준은 relative tolerance 기준으로 10^-3 이다. 식 (2)의 f 는 유체 요소에 작용하는 체적력이며 부력과 함께 자기체적력이 작용한다. 부력은 식 (4)와 같으며 Boussinesq 근사를 통해 자연대류를 모사하였다. 식 (5)는 외부 뷸균일 자기장에 의해 자성나노유체에 발생하는 자기체적력⁽¹⁰⁾을 나타낸다.

나노입자의 크기를 고려한 자성나노유체의 자화는 식 (9)의 Langevin 함수⁽¹⁰⁾로부터 유도된다.

위 식 (10)은 자성나노유체의 자화이며 M_s는 자성나노유체의 포화 자화(saturation magnetization)이다. M_d는 10 nm Fe₃O₄ 입자의 domain magnetization,⁽¹⁰⁾ k_B 는 Boltzmann 상수, H 는 자기장 세기를 의미한다. T 는 절대 온도이며, μ₀ 는 진공의 투자율이다. 본 해석에 적용한 자성나노유체인 EFH-1의 물성은 Table 3에 기술하였으며, 계산된 유체의 Langevin 함수는 Fig. 4에 도시하였다. Langevin 함수로부터 유도된 자화 계산 결과는 Fig. 5에 도시하였다. 계산시 시스템 평균 온도인 300 K 을 적용하였다. Fig. 5는 유체의 자화 곡선이며 자기장 세기가 증가함에 따라 자화 강도가 증가하는 것을 확인할 수 있고, 포화 자화인 35 kA/m 이상부터는 자기장 세기를 증가시켜도 더 이상 자화되지 않았다.

Fig. 4 
Langevin function of EFH-1

Fig. 5 
M-H curve of EFH-1

자성나노유체 영역인 직방형 공동은 수평 길이 L=150 mm, 수직 길이 H=300 mm 로 설정하였으며 공동 내 중심부의 정방형 고온 열원 길이는 s=15 mm 로 설정하였다. 좌측 및 우측면 벽은 등온(T_C=293.15 K), 상부 및 하부 벽은 단열 조건으로 설정하였다. 고온 열원은 등온 조건(T_H=308.15 K)으로 설정하였다. 유체 영역 내 모든 벽면은 점착(no slip) 조건을 적용하였고 영구 자석의 자속 밀도는 0.15 T 이다.

자연대류만을 고려한 기준 모델에 대한 결과는 Fig. 6에 도시하였는데, 중심부 고온 열원으로부터 부력에 의해 유동이 발달되면서 유선은 대칭형상을 나타내었다. 또한, Fig. 7의 국소 Nusselt 수 결과를 통해 열원 측면 수직 표면에서는 아래로 갈수록 Nusselt 수가 증가하여 대류열전달이 활발한 것을 확인할 수 있다. 열원 상부 및 하부에 위치한 수평 표면에서는 가장자리로 갈수록 Nusselt 수가 증가하였고, 특히 상부 수평 표면 중앙에서 국소 Nusselt 수가 가장 낮은 결과를 나타낸다. 기준 모델 상하좌우 4개 열원 표면의 평균 대류열전달계수는 138.51 W/m²K 이고 평균 Nusselt 수 계산 결과는 10.94를 나타내었다.

Fig. 6 
(a) streamline, velocity contour, and (b) isotherms of reference case at t=10800 sec

Fig. 7 
Time-averaged local Nusselt number of reference case (9800-10800 sec)

Magnet case 1의 결과는 Fig. 8에 도시하였다. 좌측 및 우측 자석의 위치는 모두 열원보다 상부에 위치하며 두 자석은 동일 선상에 있다. Fig. 9에 국소 Nusselt 수 결과를 도시하였다. 유동은 열원 상부에서 활발하다. 열원 좌측 및 우측 표면과 상부 표면에서 평균 Nusselt 수가 증가하였으며, 하부 표면에서는 감소하였다. 열원 좌우측의 회전 유동장이 측면 및 상부에서 부력에 의한 상승류를 촉진시키고 하부의 부력에 의한 상승 유동은 억제한 결과로 판단된다. 계산 결과 case 1의 열원 4개 표면 평균 대류열전달계수는 143.15 W/m²K 이고, 평균 Nusselt 수는 11.30으로 기준 모델 대비 3.3 % 증가하였다.

Fig. 8 
(a) streamline, velocity contour, and (b) isotherms of magnet case 1 at t=10800 sec

Fig. 9 
Time-averaged local Nusselt number of magnet case 1 (9800-10800 sec)

Magnet case 2의 결과는 Fig. 10에 도시하였다. 좌측 자석은 열원보다 상부에 위치하고 우측 자석은 열원과 동일선상에 위치한다. Fig. 11에 국소 Nusselt 수 결과를 도시하였다. 열원 좌측 표면과 상부 및 하부 표면에서 평균 Nusselt 수가 증가하였으며, 우측 표면에서는 감소하였다.

Fig. 10 
(a) streamline, velocity contour, and (b) isotherms of magnet case 2 at t=10800 sec

Fig. 11 
Time-averaged local Nusselt number of magnet case 2 (9800-10800 sec)

좌측 자석에 의한 회전 유동장 방향이 부력에 의한 상승 유동 방향과 일치하여 좌측 표면의 대류열전달을 증가시킨 것으로 판단된다. 우측 자석에 의한 회전유동장의 방향은 부력에 의한 상승 유동을 억제하는 중력과 같은 방향으로 작용하여 기준모델 대비 우측 표면의 대류열전달을 감소시킨 것으로 판단된다. 열원 4개 표면 평균 대류열전달 계수는 151.83 W/m²K 이고, 평균 Nusselt 수는 11.99로 기준모델 대비 9.6 % 증가하여 6개 자석 배열 중 기준 모델 대비 대류열전달 향상 효과가 가장 높은 영구자석 배열로 판단된다.

Magnet case 3의 결과는 Fig. 12에 도시하였다. 좌측 자석은 열원보다 상부에 위치하고 우측 자석은 하부에 위치한다. Fig. 13에 국소 Nusselt 수 결과를 도시하였다. 좌측 및 우측 자석에 의한 회전 유동장 방향이 부력에 의한 상승 유동을 억제하는 것으로 판단된다. 열원 표면 평균 대류열전달 계수는 131.37 W/m²K 이고, 평균 Nusselt 수는 10.37로 기준 모델 대비 5.2 % 감소하였다.

Fig. 12 
(a) streamline, velocity contour, and (b) isotherms of magnet case 3 at t=10800 sec

Fig. 13 
Time-averaged local Nusselt number of magnet case 3 (9800-10800 sec)

Magnet case 4의 결과는 Fig. 14에 도시하였다. 좌측 및 우측 자석은 모두 열원과 동일 선상에 위치한다. Fig. 15에 국소 Nusselt 수 결과를 도시하였다. 열원 주위에서 대칭 유동장이 발달한 것을 확인하였으며 열원 좌측, 우측 및 상부에서 기준모델 대비 평균 Nusselt 수가 증가하였다. 하부에서는 평균 Nusselt 수가 감소하였다. 열원 표면 평균 대류열전달계수는 144.89 W/m²K 이고, 평균 Nusselt 수는 11.44로 기준 모델 대비 4.6 % 증가하였다.

Fig. 14 
(a) streamline, velocity contour, and (b) isotherms of magnet case 4 at t=10800 sec

Fig. 15 
Time-averaged local Nusselt number of magnet case 4 (9800-10800 sec)

Magnet case 5의 결과는 Fig. 16에 도시하였다. 좌측 자석은 열원과 동일 선상에 위치하며, 우측 자석은 열원보다 하부에 위치한다. Fig. 17에 국소 Nusselt 수 결과를 도시하였다. 열원 상부에서 기준모델 대비 평균 Nusselt 수가 증가하였으나 우측 및 하부에서 평균 Nusselt 수가 감소하였다. 열원 표면 평균 대류열전달계수는 136.85 W/m²K 이고, 평균 Nusselt 수는 10.80으로 기준 모델 대비 1.2 % 감소하였다.

Fig. 16 
(a) streamline, velocity contour, and (b) isotherms of magnet case 5 at t=10800 sec

Fig. 17 
Time-averaged local Nusselt number of magnet case 5 (9800-10800 sec)

Magnet case 6의 결과는 Fig. 18에 도시하였다. 좌측 및 우측 자석은 열원 하부 동일 선상에 위치한다. Fig. 19에 국소 Nusselt 수 결과를 도시하였다. 열원 4개 표면 모두 기준모델 대비 평균 Nusselt 수가 감소하였다.

Fig. 18 
(a) streamline, velocity contour, and (b) isotherms of magnet case 6 at t=10800 sec

Fig. 19 
Time-averaged local Nusselt number of magnet case 6 (9800-10800 sec)

열원 표면 평균 대류열전달계수는 130.46 W/m²K 이고, 평균 Nusselt 수는 10.30으로 기준 모델 대비 5.8 % 감소하여 6개 영구자석 배열 중 기준모델 대비 대류열전달 감소 효과가 가장 큰 배열로 판단된다. Magnet case 1과 유사한 대칭 유동장이 형성되나 발달된 유동장의 위치가 열원 하부에 위치한다.